nguyengoldz

cho a,b,c là các số  thực dương thoả mãn $21ab+2bc+8ac\leq 12$ tìm giá trị nhỏ nhất của của $P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

đặt $ a=\frac{1}{3}x,b=\frac{4}{5}y,c=\frac{3}{2}z \rightarrow P=\frac{6}{2x}+\frac{5}{2y}+\frac{4}{2z}$
$=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+...+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+...+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+...+\frac{1}{2z} \geq \frac{15}{2}\sqrt[15]{\frac{1}{x^{6}y^{5}.z^{4}}}$
mặt khác có : $15 \geq 7xy+3yz+5zx=xy+..+xy+yz+..+yz+zx+..+zx \geq 15\sqrt[15]{x^{12}y^{10}z^{8}}$
$\rightarrow x^{12}y^{10}z^{8} \leq 1 \rightarrow x^6y^5z^4 \leq 1$
Do đó minP= $\frac{15}{2} \leftrightarrow a=\frac{1}{3},b=\frac{4}{5},c=\frac{3}{2}$ 

Áp dụng bđt AM-GM ta có : 
$P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \leq \frac{4}{3} (a+b+c)=\frac{4}{3}$
Dấu = xảy ra $\leftrightarrow a=\frac{16}{21},b=\frac{4}{21},c=\frac{1}{21}$

là $\sum \frac{a^2+bc}{a+b}$ chứ không phải là $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}$
bạn bị nhầm rồi

Giả sử $a\geq b\geq c=>a^2\geq b^2\geq c^2,\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều nên theo bất đẳng thức hoán vị ta có :

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{a+b}<=>\frac{a^2+bc}{b+c}+\frac{b^2+ca}{c+a}+\frac{c^2+ab}{a+b}\geq \frac{b^2+bc}{b+c}+\frac{c^2+ca}{c+a}+\frac{a^2+ab}{a+b}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=1$

Đây là đpcm

bạn xem lại chỗ này đi

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị