tuanyeubeo2000

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

$ giả\quad thiết\quad <=>\frac { 1 }{ 3 } =\sum { \frac { 1 }{ (3a-3)(a+1) }  } \ge \sum { \frac { 4 }{ { (4a-2) }^{ 2 } } \ge \frac { (\sum { \frac { 1 }{ 2a-1 } ) }  }{ 3 }  } \\ ->1\ge \sum { \frac { 1 }{ 2a-1 }  } .\quad Ta\quad có\quad \frac { 1 }{ 2a-1 } +\frac { 1 }{ 3 } \ge \frac { 4 }{ 2a+2 } =\frac { 2 }{ a+1 } ->2\ge \sum { \frac { 2 }{ a+1 }  } \\ ->\sum { \frac { 1 }{ a+1 } \le 1 }  $

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

$ từ\quad giả\quad thiết\quad ->\quad 2-2a\ge 0\quad ->b+c-a\ge 0\quad .\quad tương\quad tự\quad ta\quad cũng\quad có\quad a+b-c\ge 0\quad và\quad a+c-b\ge 0\\ Đặt\quad a+b-c=2x\quad ;\quad b+c-a=2y;\quad c+a-b=2z->\quad a=x+y;\quad b=y+z;\quad c=z+x->x+y+z=1\\ bđt\quad đã\quad cho\quad <=>4\sum { { (x+y) }^{ 3 } } +16\prod { (x+y) } \le 9{ (x+y+z) }^{ 3 }\\ <=>\sum { { x }^{ 3 }+22xyz\ge  } \sum { xy(x+y) }( schur) $

P/s : ai cho xin cách ép biên

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

Cho $x,y,z>0$. Tìm GTLN của biểu thức

                     $P=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+y^2}}-\dfrac{2}{3(x+y)^3}$

trong topic kia giải 1 lần rồi mà anh

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}+\frac{2\sqrt{y}}{1+y}+\frac{z-1}{1+z}$

$ gt\quad <=>\sum { \sqrt { xy } =1.\quad Đặt\quad \sqrt { x } =a;\sqrt { y } =b;\sqrt { z } =c->ab+bc+ca=1.\quad Viết\quad lại\quad : } \\ P=\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 2b }{ { b }^{ 2 }+1 } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } .\quad Ta\quad có\quad :\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } =\frac { 2a }{ (a+b)(a+c) } \\ ->P\le \frac { 4ab+2bc+2ac }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(1+ab) }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ \le \frac { 2\sqrt { { (a }^{ 2 }+1)({ b }^{ 2 }+1) }  }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(a+b)\sqrt { (a+c)(b+c) }  }{ \prod { (a+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2 }{ \sqrt { (c+a)(c+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { { c }^{ 2 }+1 }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } (\quad hàm\quad c) $