tuanyeubeo2000

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

$ từ\quad giả\quad thiết\quad ->\quad 2-2a\ge 0\quad ->b+c-a\ge 0\quad .\quad tương\quad tự\quad ta\quad cũng\quad có\quad a+b-c\ge 0\quad và\quad a+c-b\ge 0\\ Đặt\quad a+b-c=2x\quad ;\quad b+c-a=2y;\quad c+a-b=2z->\quad a=x+y;\quad b=y+z;\quad c=z+x->x+y+z=1\\ bđt\quad đã\quad cho\quad <=>4\sum { { (x+y) }^{ 3 } } +16\prod { (x+y) } \le 9{ (x+y+z) }^{ 3 }\\ <=>\sum { { x }^{ 3 }+22xyz\ge  } \sum { xy(x+y) }( schur) $

P/s : ai cho xin cách ép biên

Lâu rồi mới lên

Bài 170 : $ Cho\quad 0\le a,b,c\le 1\quad và\quad a+b+c=2.\quad CMR:\\ P={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 }+4abc\le \frac { 9 }{ 4 } $

Cho $x,y,z>0$. Tìm GTLN của biểu thức

                     $P=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+y^2}}-\dfrac{2}{3(x+y)^3}$

trong topic kia giải 1 lần rồi mà anh

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{xyz}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}+\frac{2\sqrt{y}}{1+y}+\frac{z-1}{1+z}$

$ gt\quad <=>\sum { \sqrt { xy } =1.\quad Đặt\quad \sqrt { x } =a;\sqrt { y } =b;\sqrt { z } =c->ab+bc+ca=1.\quad Viết\quad lại\quad : } \\ P=\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } +\frac { 2b }{ { b }^{ 2 }+1 } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } .\quad Ta\quad có\quad :\frac { 2a }{ { a }^{ 2 }+1 } =\frac { 2a }{ (a+b)(a+c) } \\ ->P\le \frac { 4ab+2bc+2ac }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(1+ab) }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ \le \frac { 2\sqrt { { (a }^{ 2 }+1)({ b }^{ 2 }+1) }  }{ (a+b)(b+c)(c+a) } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2(a+b)\sqrt { (a+c)(b+c) }  }{ \prod { (a+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } =\frac { 2 }{ \sqrt { (c+a)(c+b) }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { { c }^{ 2 }+1 }  } +\frac { { c }^{ 2 }-1 }{ { c }^{ 2 }+1 } (\quad hàm\quad c) $

Cho a,b,c là chiều dài các cạnh của tam giác có chu vi 2p. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{p-a}\geq \sum \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$

$ Không\quad mất\quad tính\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad a\ge b\ge c->p-a\le p-b\le p-c\\ ->\frac { 1 }{ p-a } \ge \frac { 1 }{ p-b } \ge \frac { 1 }{ p-c } .\quad Nên\quad áp\quad dụng\quad chebyshev\quad ta\quad được\quad :\\ \sum { \frac { a }{ p-a } \ge \frac { (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) }{ 3 } (*)\\  } \quad \\ Lại\quad có\quad :\sum { \sqrt { \frac { b+c }{ p-a }  } \le \sqrt { (2a+2b+2c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) } (**)\quad  } \\ BĐT\quad đã\quad cho\quad <=>\frac { (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) }{ 3 } \ge \sqrt { (2a+2b+2c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) } \\ Hay\quad :(a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } )\ge 18.\quad Dễ\quad thấy\quad \\ (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } )=(a+b+c)(\frac { 2 }{ a+b-c } +\frac { 2 }{ b+c-a } +\frac { 2 }{ c+a-b } )\ge \frac { 18(a+b+c) }{ a+b+c } =18\\ ->dfcm $

Help me!!!!!!!!!!!!!

$ Đặt\quad a+b+c=q=1\quad ,\quad ab+bc+ca=q\quad ,\quad abc=r\quad .\quad Theo\quad schur\quad bậc\quad 3\quad ta\quad có\quad \\ 9r\ge 4pq-{ p }^{ 3 }=4q-1.\quad Ta\quad sẽ\quad chứng\quad minh\quad 4q-1+2\ge 7q<=>1\ge 3q\quad đúng\quad vì\quad \\ { (a+b+c) }^{ 2 }\ge 3(ab+bc+ca)->q\le \frac { 1 }{ 3 } ->dfcm $

 

Bài 152:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+z^{2}\leq 2$.Tìm GTNN của biểu thức

P=$\frac{x^{2}+y^{2}}{z^{2}+xy}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+yz}-\frac{40}{3}\sqrt{\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}+4}$

 

$ Ta\quad có:\quad 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+1)\ge 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 })+2{ y }^{ 2 }\ge { 2(x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz)\\ Lại\quad có:\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { z }^{ 2 }+xy } +\frac { { y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+yz } \ge \frac { { (x+z) }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } +\frac { { 2y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } \\ =\frac { { (x+z) }^{ 2 }+{ 2y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz } \ge \frac { 2{ (x+y+z) }^{ 2 } }{ 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } .Nên\quad :\\ P\ge \frac { 2{ (x+y+z) }^{ 2 } }{ 3({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } -\frac { 40 }{ 3 } \sqrt { \frac { { (x+y+z) }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } +4 } (Đặt\quad t=\frac { { (x+y+z) }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+xy+yz) } )\\ Khảo\quad sát\quad hàm\quad nữa $

Thấy pic yên ắng quá .

Bài 140 : $ Cho\quad a,b,c\ge 0\quad thõa\quad mãn\quad a+b+c=3\quad .\quad CMR:\\ \sum { \frac { 2 }{ { a }^{ 2 } }  } +\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 } }  } \ge 9 $

Mọi người bài này trâu lắm nè, làm đủ cách cũng ko ra thôi đành nhờ m.n giúp. Help me!!!     

$ Đặt\quad { a }^{ 2 }=x;{ b }^{ 2 }=y;c^{ 2 }=z(x.y,z\ge 0).->\sum { { x }^{ 3 } } =3.\quad Và\quad P=\sum { x } .\\ Áp\quad dụng\quad holder\quad ta\quad \quad có\quad :\quad \quad \quad (\sum { { x }^{ 3 } } ).3.3\ge { (x+y+z) }^{ 3 }->x+y+z\le 3->P\le 3$

 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN LAM SƠN

Năm học 2016 - 2017

 

Môn thi: TOÁN

( Dành cho thí sinh thi vào lớp 10 chuyên Toán)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 06/06/2016

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

 

Câu 1: (2 điểm)

a/ chứng minh rằng: $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2016\sqrt{2015}}> \frac{1931}{1975}$

Câu 3: ( 2điểm)

a/ tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình: $(x+1)(x+2)(x+8)(x+9)=y^{2}$

 

 

$ Câu 1 : Ta\quad có\quad \frac { 1 }{ 2\sqrt { 1 }  } +\frac { 1 }{ 3\sqrt { 2 }  } +...+\frac { 1 }{ 2016\sqrt { 2015 }  } >\frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +...+\frac { 1 }{ 2015.2016 } =1-\frac { 1 }{ 2016 } =\frac { 2015 }{ 2016 } >\frac { 1931 }{ 1975 } $ 

$ Câu 3a :<=>({ x }^{ 2 }+10x+9)({ x }^{ 2 }+10+16)={ y }^{ 2 }.Đặt\quad :{ x }^{ 2 }+10x+9=a->a(a+7)={ y }^{ 2 }(x,y,a\in Z)\\ <=>(y-a)(y+a)=7a.\\ +)TH1:y-a\vdots a->đặt\quad y-a=ka(k\in Z)->a({ ak }^{ 2 }-a-7)=0\\ .Nếu:a=0->x=y=0\\ .Nếu:{ ak }^{ 2 }-a-7=0<=>a({ k }^{ 2 }-1)=7\quad ->\quad xét\quad ước\\ +)\quad TH2:Xét\quad tương\quad tự\quad cho\quad y+a $ 

p/s : 3a hình như giải sai :v

Có phải bạn dùng cô-si biến thê 1/x+1/y>=4/(x+y) ko 

chuẩn rồi

Cho các số x,y,z dương thay đổi luôn thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

$ Ta\quad có\quad :\quad \sum { \frac { x }{ x+1 }  } \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { x }{ x+\frac { 1 }{ 3 }  } +\sum { \frac { x }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  } )\quad \quad  } \\ \le \frac { 1 }{ 4 } (\sum { \frac { \sqrt { 3x }  }{ 2 } +\sum { \frac { 3x }{ 2 } )\le  }  } \frac { 1 }{ 4 } (\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } )=\frac { 3 }{ 4 }  $

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :y{ (x+z) }^{ 2 }=\frac { 27.2y.(x+z)(x+z) }{ 54 } \le \frac { { (2x+2y+2z) }^{ 3 } }{ 54 } =\frac { 4{ (x+y+z) }^{ 3 } }{ 27 } và\\ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \ge \frac { x+y }{ \sqrt { 2 }  } ;\quad { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }\ge \frac { { (x+y) }^{ 3 } }{ 4 } .\quad Nên\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \frac { 27{ x }^{ 3 }+27{ y }^{ 3 } }{ 4{ (x+y+z) }^{ 3 } } +\frac { x+y }{ z\sqrt { 2 }  } \ge \frac { 27{ (x+y) }^{ 3 } }{ 16{ (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 3 } } \ge \frac { 27.8{ .z }^{ 3 } }{ 54{ (x+y) }^{ 3 } } =\frac { 4{ z }^{ 3 } }{ { (x+y) }^{ 3 } } .\\ Đặt\quad \frac { x+y }{ z } =t(t\ge 2)->P\ge \frac { 4 }{ { t }^{ 3 } } +\frac { t }{ \sqrt { 2 }  }  $

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :\frac { { x }^{ 3 } }{ y{ (x+z) }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 3 } }{ x{ (y+z) }^{ 2 } } \overset { C-S }{ \ge  } \frac { { ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }^{ 2 } }{ xy\left[ { (x+z) }^{ 2 }+{ (y+z) }^{ 2 } \right]  } \ge \frac { 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2z(x+y)+{ 2z }^{ 2 } } \ge \frac { 2({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) }{ 4({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } =\frac { 1 }{ 2 } \\ Lại\quad có\quad :\quad \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }  }{ z } \ge \sqrt { 2 } ->P\ge \frac { 1 }{ 2 } +\sqrt { 2 }  $ 

p/s sửa lại

Đặt a=x+y, b=y+z, c=z+x suy ra a+b+c=2.
Ta có: $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$
Th1: abc=0 giả sử là a=0.
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$
Đẳng thức xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,1) và các hoán vị hay (x,y,z)=(0,0,1) và các hoán vị.
Th2: abc khác 0.
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq 2\sum \frac{a}{a+b+c}=2$ (dấu = ko xảy ra)
Mình nghĩ là bài này ko có max.

Bài này min =2, không có dấu bằng  nhưng cậu xét TH 1 abc=0 thì sao lại có dấu bằng tại 2 số đồng thời bằng không ?

 

Bài 134: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+6z^2=4z(x+y)$. Tìm GTNN:

$P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

 

$ giả\quad thiết\quad <=>{ (x+y) }^{ 2 }-8z(x+y)+{ 12z }^{ 2 }\le 0<=>2z\le x+y\le 6z\\ Ta\quad có\quad :y{ (x+z) }^{ 2 }=\frac { 27.2y.(x+z)(x+z) }{ 54 } \le \frac { { (2x+2y+2z) }^{ 3 } }{ 54 } =\frac { 4{ (x+y+z) }^{ 3 } }{ 27 } và\\ \sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \ge \frac { x+y }{ \sqrt { 2 }  } ;\quad { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }\ge \frac { { (x+y) }^{ 3 } }{ 4 } .\quad Nên\quad ta\quad có\quad :\\ P\ge \frac { 27{ x }^{ 3 }+27{ y }^{ 3 } }{ 4{ (x+y+z) }^{ 3 } } +\frac { x+y }{ z\sqrt { 2 }  } \ge \frac { 27{ (x+y) }^{ 3 } }{ 16{ (x+y+\frac { x+y }{ 2 } ) }^{ 3 } } \ge \frac { 27.8{ .z }^{ 3 } }{ 54{ (x+y) }^{ 3 } } =\frac { 4{ z }^{ 3 } }{ { (x+y) }^{ 3 } } .\\ Đặt\quad \frac { x+y }{ z } =t(t\ge 2)->P\ge \frac { 4 }{ { t }^{ 3 } } +\frac { t }{ \sqrt { 2 }  }  $