caobo171

Ta có $\frac{1}{6ab-5}+\frac{1}{6bc-5}+\frac{1}{6ca-5} \geq \frac{9}{6(ab+bc+ca)-15}$

mà $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}= 1$

$\Rightarrow \frac{1}{6ab-5}+\frac{1}{6bc-5}+\frac{1}{6ca-5}\geqslant -1$

$\Rightarrow$ đpcm

lời giải của của bạn sai rồi vì điều kiện của Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz áp dụng như bạn phải có mẫu dương nhé !

Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm min 

P= $\frac{x}{z ^3+y^3}+\frac{y}{x^3+z^3}+\frac{z}{x^3+y^3}-4\sqrt{xy+yz+zx}$

Ta có : ( để ý $3xyz\leq 2(xy+yz+zx)$ )
Đặt t=xy+yz+zx
$\sum \frac{x^{4}}{x^{3}y^{3}+x^{3}z^{3}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(\sum x^{3}y^{3})}\geq \frac{3(\sum xy)^{2}}{2(\sum x^{3})^{2}}=\frac{3(\sum xy)^{2}}{2((\sum x)^{3}-3(\sum x)(\sum xy)+3xyz)^{2}}\geq \frac{3t^{2}}{(8-6t+2t)^{2}}=\frac{3t^{2}}{(8-5t)^{2}}$ 
đến đây P trở thành biểu thức với biến t, khảo sát f(t) với t thuộc (0; 4/3] là được   

Ta sẽ chứng minh bđt sau 

$\frac{4}{x}+5x^{2}\geq 7+2x^{3}$

<=>$\frac{(x-1)^{2}(-2x^{2}+x+4)}{a}\geq 0$

Do $x\leq \sqrt[3]{3}=>-2x^{2}+x+4> 0$

=> BĐT đã cho cần chứng minh 

=> $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 6+7(x^{3}+y^{3}+z^{3})=27$

cái đoạn $x\leg\sqrt[3]{3} với trường hợp y,z thì sao , bạn đánh giá thế nào vậy ??

sao minh ve hinh ma thay no khong = nhau vay 

có thể là bạn vẽ nhầm, bạn thử đăng hình mà bạn vẽ lên xem 

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b^{2}+2}{18}+\frac{a^{2}}{12}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^{2}+2}\cdot \frac{b^{2}+2}{18}\cdot \frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế sau đó áp dụng bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$ là được bất đẳng thức cần chứng minh.

bạn làm ngược dấu rồi nhé 
Ta có $\sum \frac {a}{b^{2}+2}=)=\sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b^{2}}{b^2+2})\geq \sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b}{2\sqrt{2}})$
đến đây sử dụng BĐT : $xy+yz+zx \leq \frac{1}{3} (x+y+z) ^{2} $