caobo171

Ta sẽ chứng minh bđt sau 

$\frac{4}{x}+5x^{2}\geq 7+2x^{3}$

<=>$\frac{(x-1)^{2}(-2x^{2}+x+4)}{a}\geq 0$

Do $x\leq \sqrt[3]{3}=>-2x^{2}+x+4> 0$

=> BĐT đã cho cần chứng minh 

=> $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 6+7(x^{3}+y^{3}+z^{3})=27$

cái đoạn $x\leg\sqrt[3]{3} với trường hợp y,z thì sao , bạn đánh giá thế nào vậy ??

Lời giải.

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b^{2}+2}{18}+\frac{a^{2}}{12}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^{2}+2}\cdot \frac{b^{2}+2}{18}\cdot \frac{a^{2}}{12}}=\frac{a}{2}$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế sau đó áp dụng bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$ là được bất đẳng thức cần chứng minh.

bạn làm ngược dấu rồi nhé 
Ta có $\sum \frac {a}{b^{2}+2}=)=\sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b^{2}}{b^2+2})\geq \sum \frac{1}{2}a(1-\frac{b}{2\sqrt{2}})$
đến đây sử dụng BĐT : $xy+yz+zx \leq \frac{1}{3} (x+y+z) ^{2} $

1.Với a,b,c dương . Cm : $(a+b+c)(\sum \frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}})\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

2.Gỉa sử b nằm giữa a và c cm : $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq b(a^{2}+ac+b^{2})$

Ta có : $\sum \frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \frac {c^{2}}{c(a^{2}+ab+b^{2})}\geq\frac{(a+b+c)^{2}}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}$ ( theo bất đằng thức Cauchy-Schwarz ) , ta có ngay điều phải chứng minh   
Ta có b nằm giữa a và c nên $ (b-c)(b-a)\leq 0$ , phá ra là được !!

Bài 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab\ge 1$ và $c(a+b+c)\ge 3$.

Tìm GTNN của $P=\frac{b+2c}{1+a}+\frac{a+2c}{1+b}+6ln(a+b+2c)$.

 

Ta có đánh giá sau : $9\leq 3c(a+b+c)\leq (4c+a+b)^{2}/4\Rightarrow 2\leq 4c+b+a-4$
Lại có : $\frac {b+2c}{a+1}+\frac {a+2c}{b+1}=(a+b+2c)(\frac {1}{a+1}+\frac{1}{b+1})-2\geq\frac{4(a+b+2c)}{a+b+2}-2 \geq \frac{4(a+b+2c)}{2(a+b+2c)-4}-2$
Đến đây xét hàm f(t) với t=a+b+2c thuộc (0;4] chắc là ổn 

Help me please         Nếu đề có sai thì mấy bạn nói cho mik biết nhé!!

Bài này vì bất đẳng thức đã cho là thuần nhất , đối xứng và đồng bậc nên giả thiết cho là thừa ( vì có thể chuẩn hóa ), bạn cho x=căn(12), y=0,1; z=căn (3) thì bất đẳng thức không đúng ( vì dự GTNN nếu có chỉ có thể là 3/2) . 
p/s : nếu bạn chưa hiểu thế nào là chuẩn hóa thì đây nhé: http://diendantoanho...-chuẩn-hoa-bdt/

Cho các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Tìm GTNN của $P=\frac{ab}{a+b+ab}+\frac{bc}{b+c+bc}+\frac{ca}{c+a+ca}$

Đặt a=1/(x^3),b=1/(y^3),c=1/(z^3), suy ra xyz=1 Bất đẳng thức đã cho trở thành : 
$\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} \geq \sum\frac {1}{xy(x+y)+xyz}=\frac{1}{xyz}=1$
 

Bài này hình như sai đề vì nếu  x<y thì x-y<0 thì nếu cho x-y tiến tới 0 thì min sẽ là âm vô cùng
Bạn có thể sửa x-y thành y-x thì có thể giải được     

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=8.Tìm GTNN của:

P=$\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{8}{(2+y)^{3}}+\frac{64}{(4+z)^{3}}$

Đặt a=x, b=y/2,c=z/4. Bài toán trở thành : 
Cho xyz=1 tìm min : P=$\frac{1}{(a+1)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}$ 
.Ta có bất đẳng thức phụ sau : Cho abc=1 thì $\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1$ ( Võ Quốc Bá Cẩn) 
Ta chỉ cần chứng minh :$\sum \frac{1}{(a+1)^{3}}\geq\frac{3}{8}\sum\frac{1}{(\sqrt[3]{a})^{2}+\sqrt[3]{a}+1}$
Cái này mình chỉ cần biến đổi tương đương ( đặt t=$\sqrt[3]{a}$) là Ok !!! 

Hướng : ta tìm được đường thẳng GD vuông góc với GE và đi qua điểm G => tìm được điểm D là giao của GD và đt d 
Sau đó tính được ED , Ta có EC*DC =1/4 S(ABCD) =18/4 nên tìm được EC và CD , lập hai phương trình 2 ẩn của điểm C ta sẽ ra 2 TH
Loại nghiệm bằng đánh giá C,G khác phía với DE ( nếu G thuộc cạnh AC còn không thì nhân cả 2 nghiệm )

Bạn nên gọi là Cauchy-Schwarz vì thanh niên đều gọi thế , chỉ có mấy thầy ngày xưa mới gọi là Bunhiacopxki thôi , mà cả 2 là 1 , gọi thế nào cũng không sai , đừng vì cái tên mà suy nghĩ nhiều

Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh:

$\frac{a}{ac+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\leq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ 

Đặt a=x/y, b=y/z, c=z/x , Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
 $\sum\frac{x}{z+y}\leq\sum (\frac{x}{y})^{2} \Leftrightarrow (x-y)^{2}(\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}y^{2}}-\frac{1}{(x+z)(y+z)})+(z-x)(z-y)(\frac{(x+z)(y+z)}{z^{2}x^{2}}-\frac{x+y+2z}{\prod (x+y)})\geq 0$
giả sử z =min {x,y,z} ta có điều phải chứng minh

 

Bài 184: Cho các số thực $x,y,z\in [-1;1]$ và $x+y+z=0$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \sqrt{1+x+\frac{7x^2}{9}}$

 

Ta thấy: 
$P=\sum\sqrt{(1+\frac{1}{2}x)^{2}+\frac{19}{36}x^{2}}\geq\sum{(1+\frac{1}{2}x)}$ 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ .Tìm GTNN của 

$P=(x+y)\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}y^{2}}} + \sqrt{z^{2}+\frac{2}{z^{2}}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^{2}}}$

Ta thấy : 
 $P\geq\sqrt{(y+x)^{2}+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}}+\sqrt{z^{2}+\frac{2}{z^{2}}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\frac{162}{(x+y+z)^{2}}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{3}$
Đặt t=x+y+z rồi xét đạo hàm theo t chắc là ổn 

Đánh giá chỗ màu đỏ không đảm bảo dấu bằng 

ukm, mình nhìn nhanh tưởng ab=1/3 đập vào được nên liều quá 

Cho a,b,c>0 tm ab+bc+ac=1

Tìm min H=$\frac{3a^{2}b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{3b^{2}c^{2}+1}{a^{2}+1}+\frac{3c^{2}a^{2}+1}{b^{2}+1}$

Ta thấy: $H=\sum \frac{3a^{2}b^{2}+1}{c^{2}+1}\geq 2\sqrt{3}\sum\frac{ab}{c^{2}+1}=2\sqrt{3}\sum\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}ab+ab}\geq2\sqrt{3}\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{abc(a+b+c)+ab+bc+ca}$
Đến đây sử dụng bất đẳng thức : $ 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2} $ là được