Stoker

Lời giải bài 20. Từ điều kiện đầu cho ta các số trên phân biệt (lưu ý là $\gcd(0, a) = a$). Ta sẽ sử dụng các bổ đề sau:
Bổ đề. Một số tự nhiên $n$ lẻ có thể viết dưới dạng tổng hai số chính phương nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi mọi ước của $n$ đều có dạng $4k + 1$

Cho mình hỏi tại sao lại nguyên tố cùng nhau vậy?

Hướng đi của mình dài :v

Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.

Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha  =0$ hoặc $\alpha  =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương

cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.

 

Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$

Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.

Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.

Cho mình hỏi ở nhận xét 2, $4l+1$ có phải là số nguyên tố không? Nếu không thì mình thấy trường hợp số $l=5$, $\alpha =0$ sai. Còn nếu $4l+1$ là số nguyên tố thì phần ở dưới, $4t-3$ chưa chắc là số nguyên tố.

Công thức của dãy $\frac{\frac{c^{2}}{d^{2}}+\frac{e^{2}}{f^{2}}}{\frac{c}{d}+\frac{e}{f}}$ 

Ý mình là tại sao $x_n$ không thuộc $\mathbb{Z}$?

Hiển nhiên $x_{3}$ không nguyên , cũng dễ thấy $x_{n}$ hữu tỷ với mọi $n$

Ta đặt $x_{n-1}=\frac{c}{d},x_{n-2}=\frac{e}{f}$ thế thì $x_{n}=\frac{(cf)^{2}+(ed)^{2}}{df(cf+ed)}$ không thuộc $Z$

Thật ra không cần điều kiện nguyên tố cùng nhau chỉ cần $>1$ và phân biệt

Vif $a$ khác $b$ thì $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}=a+b-\frac{2ab}{a+b}$

Bạn làm chỗ này rõ giúp mình được không. Cảm ơn bạn 

Chào buổi sáng bạn Stoker   chắc bạn đọc cùng tài liệu với mình

https://www.scribd.c...onal-Equations 

=)) Mod qua tha em sáng rồi mờ mắt rồi .

Bài số $10$ nhé =)) 

Thật ra mình gặp bài đó trong chuyển khảo phương trình hàm mà thấy lời giải không chính xác nên hỏi các bạn thử

P/s: Cảm ơn bạn, tài liệu rất hay