Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hknguyen1904

Đăng ký: 26-05-2016
Offline Đăng nhập: 20-07-2017 - 10:42
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

28-05-2016 - 18:53

Một lời giải mới bài 14 ạ :|

$\frac{a+b}{ab+1}+\frac{b+c}{bc+1}+\frac{c+a}{ca+1}\geq \frac{9}{5}$

Ta có: $\frac{a+b}{ab+1}+\frac{b+c}{bc+1}+\frac{c+a}{ca+1} =\frac{(a+b)^{2}}{(a+b)(ab+1)}+\frac{(b+c)^{2}}{(b+c)(bc+1)}+\frac{(c+a)^{2}}{(c+a)(ca+1)}$ $\geq \frac{(2(a+b+c))^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)} (CS) =\frac{4}{2+ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)}$$= \frac{4}{2+ab+bc+ca-3abc}$

ĐPCM <=> $\frac{4}{2+ab+bc+ca-3abc}\geq \frac{9}{5} <=>2+27abc\geq 9(ab+bc+ca)$ (1)

Áp dụng bdt Schur ta có:

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc <=>9abc>=4(ab+bc+ca)-1 <=>27abc>=12(ab+bc+ca)-3$

Thay $27abc\geq 12(ab+bc+ca)-3$ vào (1) ta có: $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$

Bđt đúng do a + b + c = 1. Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> $a = b = c = \frac{1}{3}$

Ngược dâu rồi bạn!