Một lời giải mới bài 14 ạ :|
$\frac{a+b}{ab+1}+\frac{b+c}{bc+1}+\frac{c+a}{ca+1}\geq \frac{9}{5}$
Ta có: $\frac{a+b}{ab+1}+\frac{b+c}{bc+1}+\frac{c+a}{ca+1} =\frac{(a+b)^{2}}{(a+b)(ab+1)}+\frac{(b+c)^{2}}{(b+c)(bc+1)}+\frac{(c+a)^{2}}{(c+a)(ca+1)}$ $\geq \frac{(2(a+b+c))^{2}}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2(a+b+c)} (CS) =\frac{4}{2+ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)}$$= \frac{4}{2+ab+bc+ca-3abc}$
ĐPCM <=> $\frac{4}{2+ab+bc+ca-3abc}\geq \frac{9}{5} <=>2+27abc\geq 9(ab+bc+ca)$ (1)
Áp dụng bdt Schur ta có:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc <=>9abc>=4(ab+bc+ca)-1 <=>27abc>=12(ab+bc+ca)-3$
Thay $27abc\geq 12(ab+bc+ca)-3$ vào (1) ta có: $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
Bđt đúng do a + b + c = 1. Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> $a = b = c = \frac{1}{3}$
Ngược dâu rồi bạn!