la oi dung bay

1.Với a,b,c dương . Cm : $(a+b+c)(\sum \frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}})\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$

 

bài này bạn cố tình cho thêm a+b+c hay chỉ là vô tình vậy??

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.Cái này ba j 

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$

 

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})\frac{(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)}{(\sum a^{2})(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ ($$$)

Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum ab)-abc$

Do đó $(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)+abc=\frac{1}{2}(\sum a)(\sum (a-b)^{2})+abc> 0$

Vì vậy ($$$) đúng nên ta đã hoàn thành việc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c

a,x=25 b,x=20 Công thức 1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$

Bạn lấy những bài bất đẳng thức này ở đâu mà hay vậy ??Mình rất thích những bài bất mà bạn đăng lên diễn đàn