la oi dung bay

Khúc này bạn có thể biến đổi kĩ hơn được không? Mình không hiểu lắm.Cái này ba j 

Cái này bạn tự biến đổi tương đương là được mà

Ta có:

$\sum 2a^{2}(a+b)(a+c)-(\sum a)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(2\sum a^{3}-\sum ab(a+b))$

Lại có $a^{3}+b^{3}- ab(a+b)=(a+b)(a-b)^{2} \Rightarrow 2\sum a^{3}-\sum ab(a+b)=\sum (a+b)(a-b)^{2})$

 

2. Cho $a,b,c$ dương, chứng minh:

$$ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a} \geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

BĐT tương đương với:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(\sum (a+b)(a-b)^{2}))}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a+b)(a-b)^{2})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sum (a+b)(a-b)^{2})\frac{(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)}{(\sum a^{2})(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ ($$$)

Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum ab)-abc$

Do đó $(\sum a)(\sum a^{2})-(a+b)(b+c)(c+a)=(\sum a)(\sum a^{2}-\sum ab)+abc=\frac{1}{2}(\sum a)(\sum (a-b)^{2})+abc> 0$

Vì vậy ($$$) đúng nên ta đã hoàn thành việc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c

Let  be positive real numbers. Prove that:

$\sqrt{\frac{a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b^2(c^2+a^2)}{b^2+ca}}+\sqrt{\frac{c^2(a^2+b^2)}{c^2+ab}} \leq a+b+c$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ và $0\leq a,b,c\leq 2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B=$(a+b)(b+c)(c+a)$

Bạn lấy những bài bất đẳng thức này ở đâu mà hay vậy ??Mình rất thích những bài bất mà bạn đăng lên diễn đàn     

Bài này đã được Phạm Kim Hùng giải trong sách " Sáng tạo Bất Đẳng Thức" (Tr154-155) bằng phương pháp phân tích bình phương S.O.S rất dài.Nếu có bạn có thể tham khảo lời giải trong đó.Mình rất ngại đánh máy bài này     

Cho $0\leq x,y,z\leq 1$

CMR:$x^{2}(1-y)+y^{2}(1-z)+z^{2}(1-x)\leq 1$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $abc\geq \frac{1}{27}$.Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}+bc}{a+b}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{c+a}\geq 1$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}\geq 6\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}}$

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a,b,c:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{abc}{2(a{3}+b^{3}+c^{3})}\geq \frac{5}{3}$

1)Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c>0 thì

 $(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq abc(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)$

2)Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c>0 thì 

$\frac{ab+bc-ca}{a^{2}+c^{2}}+\frac{bc+ca-ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{ca+ab-bc}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

3)Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực a,b,c không âm:

$\frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b(c+a)}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}$$\geq 2$

Bài toán: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2 & & \\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 & & \\ z^2(x+y)^2=(5z^2+z+1)x^2y^2 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $xyz=0$ thì hệ có nghiệm $(x;0;0),(0;y;0),(0;0;z)$

Xét $xyz \neq 0$ thì đặt $x=\frac{1}{a}, y= \frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ thì hệ trở thành

Giải từng trường hợp ta thu được nghiệm