la oi dung bay

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$

Chứng minh rằng:$\frac{a}{b^3+2}+\frac{b}{c^3+2}+\frac{c}{a^3+2}\geq 1$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$

CMR: $ab^2+bc^2+ca^2+ab+bc+ca\leq 6$

1) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn abc=1.

Chứng minh rằng: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

2) Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}$

-------Lời giải-------

Câu1 Ta đưa bài toán về chứng minh:

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq 9abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

Thật vậy:

              Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$9abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})=27.ab.ac.\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3a}\leq (ab+ac+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3a})^{3}$

$=(ab+bc+ca+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{3a})^{3}$

$=(ab+bc+ca+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a})^{3}$

Do đó ta cần chứng minh:$(a^2+b^2+c^2)^3\geq (ab+bc+ca+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a})^3$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a}$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(1-\frac{a+b+c}{3a})\geq 0$

Tuy nhiên,bất đẳng thức trên đúng vì $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ và $a=max{a,b,c}$

Vì vậy,ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra tại a=b=c=1

---------------------------

Câu2 Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử $y\geq z\geq x$

Do $xy+yz+zx=3$ nên $yz\geq 1$

Ta có bổ đề quen thuộc sau:

$\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^2+1}\geq \frac{2}{yz+1}$

Thật vậy,ta có:

$(y^2+z^2+2)(yz+1)\geq 2(y^2+1)(z^2+1)$

$(y-z)^2(yz-1)\geq 0$(Luôn đúng vì $yz\geq 1$)

Do đó $P\geq \frac{1}{x^2+1}+\frac{2}{yz+1}$

Ta sẽ chứng minh:

$\frac{1}{x^2+1}+\frac{2}{yz+1}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2+yz+3}{x^2yz+x^2+yz+1}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x^2+3-yz-3x^2yz\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2+xy+xz-3x^2yz\geq 0$

$\Leftrightarrow x(z+y+z-3xyz)\geq 0$

Ta có:

Vì $xy+yz+zx=3$ nên $x+y+z\geq 3$ và $xyz\leq 1$

Do đó $x+y+z-3xyz\geq 0$

$\Rightarrow$ Hoàn tất việc chứng minh

Dấu bằng xảy ra tại x=y=z=1

---------------------------

P/S:Mỏi tay quá!!!             

Cho các số a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng:

$a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1}\leq 5$

Cho $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ca=1$

Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{3ab+1}{a+b}+\frac{3bc+1}{b+c}+\frac{3ca+1}{c+a}\geq 4$