chanlerscofield

 

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq -2$.

$\left ( x+2 \right )\left | x \right |+x^{3}-2x^{2}+x-4=\left ( x+1 \right )\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )\left ( \sqrt{x^{2}}-2 \right )+\left ( x+1 \right )\left ( x-\sqrt{x+2} \right )+x^{3}-3x^{2}+2x=0$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left [ \frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right ) \right ]=0$

Xét phương trình:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

Dễ thấy nếu $-2\leq x\leq 0$ hoặc $x\geq 1$ thì phương trình vô nghiệm, xét $x\in \left ( 0;1 \right )$ phương trình tương đương:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+4}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ (thỏa mãn điều kiện).

 

Với $x\geq 1$ thì mình hiểu nhưng tại sao với $-2\leq x\leq 0$ thì pt lại vô nghiệm vậy bạn

 

Lời giải.

Ta có:

$6x^{3}y+3xy^{3}+5xy=6x^{2}y^{2}+2x^{2}+y^{2}+1$

$\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow xy=\frac{1}{3}$ (vì $2x^{2}-2xy+y^{2}+1=\left ( x-y \right )^{2}+x^{2}+1\geq 1>0$)

Thay $xy=\frac{1}{3}$ vào phương trình đầu ta được:

$y^{2}=\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$ hoặc $y=-\frac{1}{3}$

Với $y=\frac{1}{3}$ ta được $x=1$, với $y-\frac{1}{3}$ ta được $x=-1$.

 

Cho mình hỏi tí, mình không biết làm cách nào bạn phân tích đc thành $\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:

$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.

Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:

$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$

   $\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$

   $\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$

   $=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị. 

Cho mình hỏi cái đoạn này sao bạn biết nhân tử và mẫu cho $\sqrt{2}$ để phía dưới mẫu có thể áp dụng BĐT vậy

Đặt: $S=a(b^2+c^2+7)+b(c^2+a^2+7)+c(a^2+b^2+7)$ và P là biểu thức VT.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $PPS\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh: $(a+b+c)^3\geq S$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3$ (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

bạn chứng minh giúp mình với mình không biết

Đặt P là biểu thức đề bài

Ta có: $P=(a+c)[\frac{b}{c(a+b)}+\frac{d}{a(c+d)}]+(b+d)[\frac{c}{d(b+c)}+\frac{a}{b(d+a)}]$

$=(abc+bcd+cda+dab)[\frac{a+c}{ac(a+b)(c+d)}+\frac{b+d}{bd(b+c)(a+d)}]$

$=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})[\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{c}+\frac{1}{d})}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{d}}{(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{a}+\frac{1}{d})}]$

$\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})[\frac{4(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^{2}}+\frac{4(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^{2}}]=4$

Vậy đpcm

cho mình hỏi làm sao bạn biết cách đưa $P$ về như trên vậy