TanSan26

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), AB<AC, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi P, Q là hai điểm thuộc cung BC không chứa sao cho PQ//BC và tia AP nằm giữa hai tia AQ và AH. Gọi K, X thứ tự là hình chiếu vuông góc của B lên AP, AQ; L, Y thứ tự là hình chiếu vuông góc của C lên AP, AQ.

1. Chứng minh rằng XKYL là tứ giác nội tiếp tâm M.

2. Chứng minh rằng HM là phân giác góc KHL; H, K, M, L cùng thuộc một đường tròn( đường tròn tâm I).

3. Gọi giao điểm khác K của AP và (I) là N. Chứng minh rằng NL luôn đi qua một điểm cố định khi P, Q di chuyển.

Dưới đây là link các tài liệu toán hay (bao gồm: Số, Tổ, Đại, Hình, Bất, ...)

1)https://diendantoanh...n-olympic-toán/

2)https://diendantoanh...c-giải-tích-hh/

3)https://nguyenvanlinh.wordpress.com/

4)http://analgeomatica.blogspot.com/

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐỘI TUYỂN  (Đà Nẵng, ngày 21/10/2016)

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng- 12A1-THPT chuyên LQD-DN)

Bài 1: Cho các số thực $x_0,x_1,...,x_{n+1}$ thỏa mãn điều kiện:

$(i)\text{   } 0=x+0<x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}=1$.

$(ii)\text{   }\sum_{j=0,j\ne i}^{n+1}\frac{1}{x_i-x_j}=0,i=1,2,...,n $.

Chứng minh rằng: $x_{n+1-i}=1-x_i,i=1,2,...,n$.

Bài 2: Cho số nguyên dương $n$, giả sử $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ là hai hoán vị của dãy $(1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{n})$ thỏa mãn điều kiện: $a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge ...\ge a_n+b_n(*)$.

a) Chứng minh: $a_k+b_k<\frac{k}{4},k=1,2,...,n$.

b) Chứng minh rằng với mỗi số $c>1$ luôn tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho có hai hoán vị $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ của $(1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n})$ thỏa $(*)$ và $a_n+b_n>\frac{4-c}{n}$.

Bài 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho $P(sin(x))=Q(x),\forall x\in [0;1]$  

Bài 4: Chứng minh rằng từ $19$ số tự nhiên tùy ý, luôn tìm được $2$ số sao cho hiệu các bình phương của chúng chia hết cho $36$.

Bài 5: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $2013^{n}-1$ chia hết cho $2^{2014}$

Cho $k$ là số tự nhiên. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(n,m)$ thỏa mãn: $(2^{k})!=2^{n}*m$

ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng - Lê Quý Đôn Đà Nẵng)

Ngày 1: 

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1  \end{matrix}\right.$

Bài 2: Gọi $x$ là số thực bất kì. Xét dãy số $(a_{m,n})$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} a_{i,0}=\frac{x}{2^{i}}\\a_{i,(j+1)}=a_{i,j}^2+2a_{i,j}  \end{matrix}\right.(i,j=0,1,2,...)$.

Tìm $lim_{n\to +\infty} a_{n,n}$.

Bài 3: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ và có đường cao $AH$. Gọi $T,T'$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $H$ xuống $AB,AC$. Chứng minh rằng: $AC=2OT\iff AB=2OT'$.

Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp hữu hạn $A\subset N^{*}$ sao cho tồn tại tập hữu hạn $B\subset N^{*}$ thỏa mãn: $A\subset B$ và $\sum_{x\in B}x=\sum_{x\in A}x^2$.

Ngày 2:

Bài 5: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a\ge 2,b\ge 1,c\ge 6$ và $a+b+c=10$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$F=a^3b^2c$.

Bài 6: Có tồn tại hay không cấp số cộng vô hạn $(a_n)\subset N^{*}$ thỏa mãn với mọi $n\in N^{*}$ thì: $a_n+a_{n+1}+...+a_{n+9}|a_na_{n+1}...a_{n+9}$.

Bài 7: Ta viết các số từ $0$ đến $9$ vào các ô của một bàn cờ $10X10$, mỗi số được sử dụng đúng $10$ lần. Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột của bàn cờ chứa nhiều hơn $3$ số đôi một phân biệt. 

Đề chọn đội tuyển Quốc Gia môn Toán

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng- Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng)

Ngày thi thứ nhất:

Bài toán 1: Bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn: $ab=c^2+4d^2=4$. Chứng minh đẳng thức sau:

$(a-c)^2+(b-d)^2\ge \frac{8}{5}$.

Bài toán 2: Giả sử $(m,n)$ là cặp số nguyên dương lẻ thỏa mãn: $m>n>1$ và $m^2$ chia hết cho $m^2+1-n^2$.

1. Chứng minh rằng, thương $\frac{m^2}{m^2+1-n^2}$ là số chính phương.

2. Tìm cặp số lẻ $(m,n)$ có tính chất trên sao cho $m+n$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 3: Cho $P(n)$ là một đa thức( hệ số thực) của biến tự nhiên $n$ thỏa mãn:

$P(n)=1^{2003}+2^{2003}+...+n^{2003},\forall n\in N^{*},n\ne 1$.

Chứng minh rằng: đa thức $P(n)$ chia hết cho đa thức $Q(n)=n^2(n+1)^2$

Bài toán 4:  Trong mặt phẳng cho tam giác :$A_0B_0C_0$ và một điểm $P$ nằm trong tam giác sao cho các đoạn $PA_0,PB_0,PC_0$ tạo với các cạnh của tam giác $A_0B_0C_0$ ba tam giác nhỏ chung đỉnh $P$ mà các góc của mỗi tam giác này ở các đỉnh $P$ đều nhọn. Gọi $A_{i+1},B_{i+1},C_{i+1}$ lần lượt là các điểm đối xứng của $P$ qua các đường thẳng $B_iC_i,C_iA_i$ và $A_iB_i(i=0,1,2)$.

1. Chứng minh rằng:, tam giác: $\triangle A_3B_3C_3\sim \triangle A_0B_0C_0$.

2. Kết luận trên còn đúng nữa không khi $P$ là một điểm bất kì của mặt phẳng?

Ngày thi thứ hai: Cập nhật sau.

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn: $ab=c^2+4d^2=4$. Chứng minh rằng: $(a-c)^2+(b-d)^2\ge \frac{8}{5}$

(AoPS)

ừm đúng r!

nhưng theo cách đó thì

$\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right )\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

 

mà dùng máy tìm kq trước bằng shift cos thì lại ra kq $\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$

Nếu anh bấm: $cos^{-1}(\frac{1}{3})\implies A$. Anh phải xem thử $A\in [\frac{-\pi}{2};0]$ không rồi mới tính chứ

Giải

Ta có:$\cos \left ( \alpha \right )=\frac{1}{3}$

-> $\sin _{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

 <=> $\sin \alpha =\sqrt{1-\cos ^{2}\alpha }$= $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

vì $-\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$ nên $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

 

  -pi/2<a<0 => sin a 2 căn 2 /3   (công thức lượng giác cơ bản)

=$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha -\frac{1}{2}\sin \alpha$ (giờ thế sin a và cos a đã tìm ở trên vô)

=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$

 

 

chắc em mới học lượng giác hen? cố lên.

Ủa: $\frac{-\pi}{2}<\alpha<0\implies sin(\alpha)<0$ chứ.

Ví dụ: $\alpha=\frac{-\pi}{3}\in [-\frac{\pi}{2};0]\implies sin(\alpha)=\frac{-\sqrt{3}}{2}<0$

Cho tam thức bậc hai: $f(x)=x^2+px+q$ ở đó $p,q$ là các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ để

$f(k)=f(2016).f(2017).$

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{6}}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$

Cách 2: Ta có: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}=\sum \frac{a^2}{a(b+2c+3d)}\ge^{B.C.S} \frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}$.

Ta dự đoán dấu = xảy ra tại $a=b=c=d$. Khi đó: $M=\frac{2}{3}$.

Ta đi CM: $\frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}\ge \frac{2}{3}$

$\iff 3(a+b+c+d)^2\ge 8(ab+bc+cd+da+ac+bd)\iff (a+b+c+d)^2\ge 4(ab+bc+cd+da).(dung)=> dpcm$

Mình giải câu 5 như sau:

Từ giả thiết suy ra $xyz\le \frac{1}{8}$.

Khi đó áp dụng $AM-GM$ ta có:

$P\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod(xy+1)}{xyz}}$.

Đến đây ta tìm min của $\frac{\prod(xy+1)}{xyz}(=Q)$

Ta có: $Q=abc+\frac{1}{abc}+(a+b+c)+(\sum \frac{1}{a})\ge (abc+\frac{1}{abc})+[(a+b+c)+\frac{9}{a+b+c}]$

$\iff Q\ge (abc+\frac{1}{64abc})+(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)})+\frac{63}{64abc}+\frac{27}{4(a+b+c)}$.

Đến đây kết hợp $AM-GM$ và đk ban đầu $=> Q\ge \frac{125}{8}=> P\ge \frac{15}{2}$.

Vậy $Min P=\frac{15}{2}$. Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

hôm nay tạch luôn câu phương trình, quên ko ghi vào giấy thi

Mình xin giải câu 3b nhé:

Giải phương trình: $x^2+4x-7=(x+4)\sqrt{x^2-7}(1)$.

Đk: $x^2\ge 7$

$(1)\iff x^2+4x-7-4(x+4)=(x+4)[\sqrt{x^2-7}-4]$

$\iff (x^2-23)[\sqrt{x^2-7}+4]=(x+4)(x^2-23)$

$\iff x^2=23(n),\sqrt{x^2-7}+4=x+4(2)$

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

Cho a;b;c >0. Tìm Min M=$\sum \frac{a}{b+2c+3d}$

Đặt $(b+2c+d,c+2d+3a,d+2a+3b,a+2b+3c)\rightarrow (x,y,z,t)$

Suy ra $(a,b,c,d)\rightarrow (\frac{7y+z+t-5x}{24},\frac{7z+t+x-5y}{24},\frac{7t+x+y-5z}{24},\frac{7x+y+z-5t}{24})$.

Khi đó: $M=\frac{7}{24}(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{t})+\frac{1}{24}(\frac{z}{x}+\frac{t}{x}+\frac{t}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t})-\frac{5*4}{24}$.

Dùng $AM-GM$ cho từng cặp ta được:

$M\ge \frac{7*4}{24}+\frac{8}{24}-\frac{5*4}{24}=\frac{2}{3}$. Dấu $= $ xảy ra khi $x=y=z=t\iff a=b=c=d$ 

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:

$a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=0$. Chứng minh rằng mọi ước lẻ của số: $ab+c$ đều có dạng $4k+1$