Đến nội dung


quantv2006

Đăng ký: 07-06-2016
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:32
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng...

18-09-2017 - 18:00

XD cắt (OI) tại T. Khi đó chỉ cần tính tỷ lệ TI/TO the r, R. Khi đó kết luận được T không phụ thuộc vào X, Y, Z là 3 đường đồng quy thôi.


Trong chủ đề: Chứng minh $MO$ qua trung điểm $DN$

28-07-2017 - 13:05

I, N, D thẳng hàng. AI cắt (O) tại P, P là điểm chính giữa cung BC không chứa A, ta có M, D, P thẳng hàng.

 

Gọi Q là điểm chính giữa chung BAC, P, O, Q thẳng hàng.

Góc AMQ = APQ = AIN = AMN -> M, N, Q thẳng hàng. ND//PQ nên MO đi qua trung điểm của ND.


Trong chủ đề: Chứng minh đường tròn $ (DYZ)$ đi qua hai điểm cố định.

10-07-2017 - 10:17

Cho $ \triangle ABC $ nội tiếp đường tròn $ (O) $ ngoại tiếp đường tròn $ (I) $. $ D $ là một điểm di chuyển trên cạnh $ BC $. Đường tròn $ Thebault $ của $ \triangle ABC $ ứng với $ AD $ và các đỉnh $ B, C $ tiếp xúc trong với $ (O) $ tại $ Y, Z $. Chứng minh đường tròn $ (DYZ)$ đi qua hai điểm cố định.

(I) tiếp xúc với BC tại P, X là điểm chính giữa của cung BC. Mới chứng minh được (DYZ) đi qua P, còn điểm thứ 2 là Q nằm trên XP chưa xác định đc!!!


Trong chủ đề: Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC...

02-07-2017 - 13:11

Mong mọi người giúp đỡ chứng minh S thuộc (OMC)

CS cắt (O) tại R.

 

Dễ thấy ATBM, ATCS là các tứ giác nội tiếp.

 

$\angle CMS=\angle MTS=\angle MTA-\angle STA=\angle MBA-\angle SCA=\angle CBA-\angle RBA=\angle RCB\Rightarrow$ MS//BR hay S là trung điểm của CR. Vậy OS vuông góc với CR tại S.


Trong chủ đề: Chứng minh N, G, P thẳng hàng

02-07-2017 - 09:00

Lời giải của mình:

attachicon.gifhih290.png 

 

Ta dễ chứng minh được: $OA\perp MN$ do đó $AM=AN$. Vậy $\angle NKS=\angle SKG$ do đó $AK\perp NG$. Ta quy bài toán về chứng minh $PN\perp AK$. Gọi $MN\cap AK=I, AH\cap BC=F$, ta : $\angle AIM=\dfrac{\widehat{AM}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\dfrac{\widehat{AN}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\angle ACK$, do đó $DIKC$ nội tiếp. Để ý rằng: $\angle AEM=180^\circ-\angle AED=180^\circ-\angle ACB=\angle AMB$. Do đó ta : $AM^2=AE.AB=AN^2=AD.AC=AI.AK=AH.AF$. Do đó $\angle AFI=\angle HKA=\angle AKN=\angle AMN$ suy ra $AMFI$ nội tiếp. Gọi $ED\cap BC=L, LA\cap (O)=J$. Ta dễ dàng chứng minh: $H,P,J$ thẳng hàng đồng thời: $H$ trực tâm tam giác $APL$. Vậy $LM.LN=LJ.LA=LF.LP$ do đó $MFPN$ nội tiếp suy ra $\angle NPC=\angle FMI=\angle FAK$. Gọi $NP\cap AK=R$. Ta : $\angle RPC=\angle RAF$ do đó $RAFP$ nội tiếp suy ra $AK\perp NP$. Do đó ta thu được điều phải chứng minh

 

P/s: Hoàn toàn THCS được(dù hơi dài như ở trên), một bài toán rất hay.

 

Chứng minh AK vuông góc với NP $\Leftrightarrow \angle ANP+ \angle NAK=180^0$

 

$\Leftrightarrow \angle ANM+\angle MNP+ \angle NAK=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NAK+\angle MNP=90^0$ (do AM=AN)

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NMK+\angle MNP=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMK+\angle MFB=90^0$ (do MNPF là tứ giác nội tiếp)

 

$\Leftrightarrow \angle AFM+\angle MFB=90^0$ (do $AM^2=AH.AF$)