Đến nội dung


quantv2006

Đăng ký: 07-06-2016
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:32
-----

#686193 Chứng minh N, G, P thẳng hàng

Gửi bởi quantv2006 trong 02-07-2017 - 09:00

Lời giải của mình:

attachicon.gifhih290.png 

 

Ta dễ chứng minh được: $OA\perp MN$ do đó $AM=AN$. Vậy $\angle NKS=\angle SKG$ do đó $AK\perp NG$. Ta quy bài toán về chứng minh $PN\perp AK$. Gọi $MN\cap AK=I, AH\cap BC=F$, ta : $\angle AIM=\dfrac{\widehat{AM}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\dfrac{\widehat{AN}}{2}+\dfrac{\widehat{NK}}{2}=\angle ACK$, do đó $DIKC$ nội tiếp. Để ý rằng: $\angle AEM=180^\circ-\angle AED=180^\circ-\angle ACB=\angle AMB$. Do đó ta : $AM^2=AE.AB=AN^2=AD.AC=AI.AK=AH.AF$. Do đó $\angle AFI=\angle HKA=\angle AKN=\angle AMN$ suy ra $AMFI$ nội tiếp. Gọi $ED\cap BC=L, LA\cap (O)=J$. Ta dễ dàng chứng minh: $H,P,J$ thẳng hàng đồng thời: $H$ trực tâm tam giác $APL$. Vậy $LM.LN=LJ.LA=LF.LP$ do đó $MFPN$ nội tiếp suy ra $\angle NPC=\angle FMI=\angle FAK$. Gọi $NP\cap AK=R$. Ta : $\angle RPC=\angle RAF$ do đó $RAFP$ nội tiếp suy ra $AK\perp NP$. Do đó ta thu được điều phải chứng minh

 

P/s: Hoàn toàn THCS được(dù hơi dài như ở trên), một bài toán rất hay.

 

Chứng minh AK vuông góc với NP $\Leftrightarrow \angle ANP+ \angle NAK=180^0$

 

$\Leftrightarrow \angle ANM+\angle MNP+ \angle NAK=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NAK+\angle MNP=90^0$ (do AM=AN)

 

$\Leftrightarrow \angle AMN+ \angle NMK+\angle MNP=90^0$

 

$\Leftrightarrow \angle AMK+\angle MFB=90^0$ (do MNPF là tứ giác nội tiếp)

 

$\Leftrightarrow \angle AFM+\angle MFB=90^0$ (do $AM^2=AH.AF$)




#686156 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao AD,BE,CF

Gửi bởi quantv2006 trong 01-07-2017 - 16:20

Gọi P là trung điểm của BC, AO cắt (O) tại L khác A. Ta có G, H, P, L thẳng hàng.

 

MP cắt (O) tại Q khác M, cắt NH tại T. Ta có AQ vuông góc với NH.

 

Do LQ vuông góc với AQ tại Q nên LQ//NH $\Rightarrow$ LQ//NH $\Rightarrow$ THQL là hình bình hành $\Rightarrow \angle THL=\angle HLQ=\angle GMT\Rightarrow MGHT$ là tứ giác nội tiếp.

 

BTCQ là hình bình hành $\Rightarrow \angle BTC=\angle BQC=\angle BHC\Rightarrow$ BTHC là tứ giác nội tiếp.

 

3 đường tròn (BTHC), (BMGC), (MGHT) cắt nhau tại 3 trục đẳng phương BC, GM, HT nên BC, GM, HT đồng quy hay GM,NH,BC đồng quy.




#685799 Chứng minh N, G, P thẳng hàng

Gửi bởi quantv2006 trong 28-06-2017 - 10:10

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H. DE cắt (O) tại M, N. MH cắt (O) tại K khác M. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với NK cắt AK tại S. Gọi G là hình chiếu vuông góc với S trên MK, P là trung điểm của BC. CMR: N, G, P thẳng hàng.

 

image.png




#678827 Xác định vị trí của H để diện tích tam giác QCF lớn nhất

Gửi bởi quantv2006 trong 28-04-2017 - 13:43

Ta có: $\angle CAF=\angle CHF=\angle QHK(1)$

 

$\angle ACF=\angle AHK(2)$

 

$\angle CAF=\angle ACF(3)$

 

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \angle AHK=\angle QHK\Rightarrow$ A và Q đối xứng với nhau qua HK.

 

Vậy FQ=FQ=FC.

 

FQ=FC cố định nên diện tích tam giác QCF lớn nhất khi góc $\angle QFC=90^0$, khi đó HO vuông góc với EF




#678185 Chứng minh PH vuông góc với AK

Gửi bởi quantv2006 trong 21-04-2017 - 09:44

Đường tròn (A; AH) đi qua M, N. Gọi J là giao điểm thứ 2 của (A; AH) với (K).

 

Do PM.PN=PB.PC nên P nằm trên trục đẳng phương của (A) và (K). Vậy P, H, J thẳng hàng.

 

A và K là tâm nên AK vuông góc với HJ.

 

Vậy AK vuông góc với PH.




#676517 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Gửi bởi quantv2006 trong 07-04-2017 - 11:05

Câu 2: $SD=SE=\frac{1}{2}AB; TD=TE=\frac{1}{2}HC\Rightarrow$ ST là đường trung trực của đoạn DE.




#676513 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIG theo R

Gửi bởi quantv2006 trong 07-04-2017 - 10:24

Cho (O;R) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là iếp điểm, C nằm giữa M và D, A và C nằm khác phía đối với MO). Gọi I là trung điểm CD.

a) CM: MB^2 = MC.MD

b) CM: AOIB nội tiếp.

c) TIa BI cắt (O) tại J. CM: AD^2 = AJ.AM

d) Đường thẳng qua I song song với DB cắt AB tại K, CK cắt OB tại G. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIG theo R.

 

Mọi người giúp mình câu d) với. Xin cảm ơn!

 

IK // DB $\Rightarrow \angle CIK = \angle CDB = \angle CAB = \angle CAK\Rightarrow$ ACKI là tứ giác nội tiếp.

 

$\Rightarrow \angle IAK=\angle ICK$

 

5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn đường kính MO $\Rightarrow \angle IMB = \angle IAB=\angle IAK$

 

Vậy $\angle ICK = \angle IMB \Rightarrow CK // MB$

 

Vậy CK vuông góc với OB tại G hay $\angle OGC = 90^0\Rightarrow$ OCGI là tứ giác nội tiếp và OC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CIG. Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CGI = R/2




#676510 Khi N di chuyển trên cung lớn BC thì I di chuyển trên đường nào?

Gửi bởi quantv2006 trong 07-04-2017 - 08:56

Cho (O;R), A không thuộc đường tròn (O). AB, AC là tiếp tuyến (O). Trên cung lớn BC lấy N. Kẻ đường thẳng d qua A // BN. d cắt NC tại I.

1) CM: góc AOC = góc BNC.

2) CM: tứ giác AOIC nội tiếp.

3) Kéo dài BO cắt (O) tại B'. Kẻ đường thẳng vuông góc với BB' tại O, cắt B'C tại E. AE cắt OC tại K. Cho OA = 2R. CM: tam giác AOK đều.

4) Khi N di chuyển trên cung lớn BC thì I di chuyển trên đường nào?

 

Các bạn giúp mình câu 4) nhé! Cảm ơn mọi người.

 

Câu 2 AOIC là tứ giác nội tiếp thì I nằm trên (AOC) hay I nằm trên đường tròn (OA) ở câu 4




#676358 Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O...

Gửi bởi quantv2006 trong 06-04-2017 - 07:06

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AH$ là đường cao kẻ từ $A$, $D$ là trung điểm của $AC$, $OB$ cắt $HD$ tại $L$. $OD$ cắt $BC$ tại $K$. $AL$ cắt $(O)$ tại $M$ và $OA$ cắt $(O)$ tại $N$. Chứng minh $HM,KN$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn $(O)$.

 

Do $\angle DHA=\angle DAH=\angle OAB=\angle OBA\Rightarrow$ tứ giác ABHL là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle ALB=\angle AHB=90^0$.

 

Vậy OL vuông góc với dây AM tại L hay L là trung điểm của AM.

 

Xét hai tam giác AOK và ALH có $\angle AKO=\angle AKD=\angle AHD=\angle AHL$. $\angle AOK=\angle ALH$ (cùng bù với góc AOD). Vậy tam giác AOK và ALH đồng dạng.

 

Do O là trung điểm của AN, L là trung điểm của AM nên tam giác ANK và tam giác AMH đồng dạng $\Rightarrow \angle ANK=\angle AMH$

 

Gọi T là giao điểm của KN và MH. Do $\angle ANK=\angle AMH\Rightarrow$ tứ giác AMTN nội tiếp hay T nằm trên (O) (ĐPCM).




#676284 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K

Gửi bởi quantv2006 trong 05-04-2017 - 13:07

a) $\angle AHG=\angle AFG=\angle AGK\Rightarrow AG^2=AK.AH$

 

Tương tự có $AE^2=AK.AH$

 

Vậy AE=AG=AF=AD $\Rightarrow$ tứ giác DFEG nội tiếp và A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

 

Do A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFEG $\Rightarrow \angle DGE=\frac{1}{2}\angle DAE=\angle DAC$

 

$\angle DAC=\angle DHB=\angle DFP \Rightarrow \angle DEG=\angle DFP \Rightarrow$ E, F, P thẳng hàng.

 

Chứng minh tương tự có G, D, P thẳng hàng.

 

Ta có: $\angle PEG=\angle FEG=\frac{1}{2}\angle FAG=\angle BAG=\angle BHG\Rightarrow$ GHPE là tứ giác nội tiếp.

 

b) Gọi I là giao điểm của KP và DF.

 

Nếu tam giác ABC cân tại A thì KBC cân tại K, khi đó P trùng H dễ thấy BF, CD, KP đồng quy.

 

Nếu tam giác ABC không cân tại A, giả sử AB<AC.

 

Xét 3 đường tròn (DHPF), (GHPE), (GDFE) đôi một cắt nhau tại 3 trục đẳng phương HP, DF, GE nên HP, DE, GE đồng quy, gọi điểm đồng quy là S.

 

Ta có: $(PS,PK,PG,PE)=-1\Rightarrow (S,I,D,F)=-1\Rightarrow (KS,KI,KD,KF)=-1\Rightarrow (KS,KP,KB,KC)=-1\Rightarrow (S,P,B,C)=-1\Rightarrow \frac{SB}{SC}=\frac{PB}{PC}$

 

Do S, D, F thẳng hàng nên  BF, CD, KP đồng quy.




#676270 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K

Gửi bởi quantv2006 trong 05-04-2017 - 09:57

Câu b và bài này giống nhau:

 

https://diendantoanh...uộc-cm-sao-cho/




#676158 CMR:AQ đi qua điểm cố định.

Gửi bởi quantv2006 trong 04-04-2017 - 09:39

AQ đi qua trung điểm của DE nên AQ là đường đối trung của tam giác ABC nên AQ đi qua điểm cố định là giao 2 tiếp tuyến tại B và C của (O).




#675162 CMR KA là phân giác của góc EKF

Gửi bởi quantv2006 trong 23-03-2017 - 20:10

Em làm cách khác vậy:

 

image.jpg

a) KE, KF cắt (O) tại P, Q. Ta có $SF.SE=SB.SC=SK^2$ nên tam giác SKF và SEK đồng dạng $\Rightarrow \angle SEK=\angle SKF=\angle PQK$

 

Vậy PQ // EF. Do OA vuông góc với EF nên OA vuông góc với PQ. Vậy cung AP = cung AQ nên AK là phân giác góc EKF.

 

b) SA cắt (O) tại T. Dễ chứng minh T, H, I thẳng hàng và IH vuông góc với SA tại T.

 

SN là tiếp tuyến với (O). NK cắt BC tại D'. Ta sẽ có: $\frac{SB}{SC}=\frac{D'B}{D'C}$. Dễ chứng minh được $\frac{SB}{SC}=\frac{DB}{DC}$. Vậy $\frac{DB}{DC}=\frac{D'B}{D'C}$. Do D và D' đều nằm trong đoạn BC nên D' trùng D.

 

Vậy N, D, K thẳng hàng.

 

Các điểm S, O, N, K, M, I cùng nằm trên đường tròn đường kính SO. Vậy: $\angle SKL=\angle SNK=\angle SMK\Rightarrow$ tam giác SKL và SMK đồng dạng $\Rightarrow SK^2=SL.SM\Rightarrow ST.SA=SK^2=SL.SM\Rightarrow$ AMLT là tứ giác nội tiếp. Do $\angle ATL=180^0-\angle AML=90^0$ nên LT vuông góc với SA tại T.

 

Vậy L nằm trên IH (T, L, H, I thằng hàng) hay IL vuông góc với SA tại T.

 

Do $SL.SM=SK^2=SB.SC\Rightarrow$ BCML là tứ giác nội tiếp.




#675120 CMR KA là phân giác của góc EKF

Gửi bởi quantv2006 trong 23-03-2017 - 14:26

Cho tam giác ABC nội tiếp $\left ( O \right )$. Ba đường cao AD,BE,CF. EF cắt BC ở S. từ S kẻ tiếp tuyến SK tới $\left ( O \right )$. 

a,CMR KA là phân giác của góc EKF 

b,Gọi KD cắt EF ở L. Gọi I là trung điểm BC. AO cắt EF tại M. CMR IL $\perp$ AS và tứ giác BLMC nội tiếp

Có 2 điểm K, lấy điểm K khác phía với A so với BC thì đúng!




#675022 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; Chứng minh AB // NS;

Gửi bởi quantv2006 trong 22-03-2017 - 10:57

Câu 2 có phương án nào khác không dùng định lý   :ukliam2:  :ukliam2: menelaus không các bạn. Vì ở trương không ai dạy nên không cho dùng. Hic  :ukliam2:

Qua G kẻ đường song song với HM cắt NI tại J

 

$\Rightarrow \frac{EH}{EG}=\frac{HI}{GJ}=\frac{MI}{GJ}=\frac{NM}{NG}$