harryhuyen

Kết thúc câu 5 luôn: 

b) 

Lấy P đối xứng D qua M thì IM // AP. Ta chứng minh IM vuông góc KD <=> IP vuông góc KD là xong

*) Gọi Q là giao AD với (I), AI cắt EF tại L. T là giao DI với AK.

Ý tưởng muốn chứng minh IP vuông góc KD ta sẽ sử dụng yếu tố trực tâm vào tam giác ADK  

Dễ thấy QLID nội tiếp nên $\widehat{IDA}=\widehat{ALQ}$ mà $\widehat{ADB}=\widehat{QAK}$ và AI vuông góc EF, ID vuông góc BD suy ra $\widehat{QLF}=\widehat{QAK}$ suy ra AQLK nội tiếp suy ra AD vuông góc QK => dpcm

hình như IM vuông góc với DK mà bạn?

Cho $x=y=0$ suy ra $f(0)=0$. Cho $y=0$ thì có được: $f(x^2)=f^2(x)$. Cho $x=1$ thì ta có được $f(1)=1$ hoặc $f(1)=0$. 

TH1: $f(1)=0$ thì cho $x=1$ có: $f(1)=f^2(1-y)-f(y^2)$ hay là $f^2(1-y)=f(y^2)=f^2(y)$ giải tiếp thấy vô lí.

TH2: $f(1)=1$ thì dễ rồi giải như bạn đó có được: $f(x)=x$.

làm sao loại đc f(o) =2 ạ?

bạn ơi cái chỗ vị tuự rồi suy ra I,J,G' thuộc (DEF) là sao vậy

Gọi $G'$ là trung điểm $HK$. $AH$ cắt $BC$ tại $F$. Gọi $I,J$ là trung điểm $AH,MH$

qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số $\frac{1}{2}$ suy ra $G'$,$I$,$J$ thuộc $\left ( DEF \right )$. Ta có $HA.HF=2.HI.HF=2HJ.HG'=HM.HG$ nên $AMFG'$ nội tiếp 

Mặt khác có $\Delta AME\sim \Delta ABM$ nên $AM^{2}=AE.AB=AH.AF$ suy ra $\Delta AHM\sim \Delta AMF$ nên $\widehat{AMH}=\widehat{AFM}$ hay $A$ là điểm chính giữa cung $MG'$ suy ra $AG'=AM=AN$ và do $KA$ là phân giác $MKN$ nên $NG'$ là trung trực $AK$ nên $G'$ trùng $G$ hay $G$ là trung điểm $HK$

$HP$ cắt $O$ tại $Q$ thì $P$ là trung điểm $HQ$ suy ra $PG$ ll $KQ$ ll $NG$ nên có đpcmự 

Gọi P là trung điểm của BC, AO cắt (O) tại L khác A. Ta có G, H, P, L thẳng hàng.

 

MP cắt (O) tại Q khác M, cắt NH tại T. Ta có AQ vuông góc với NH.

 

Do LQ vuông góc với AQ tại Q nên LQ//NH $\Rightarrow$ LQ//NH $\Rightarrow$ THQL là hình bình hành $\Rightarrow \angle THL=\angle HLQ=\angle GMT\Rightarrow MGHT$ là tứ giác nội tiếp.

 

BTCQ là hình bình hành $\Rightarrow \angle BTC=\angle BQC=\angle BHC\Rightarrow$ BTHC là tứ giác nội tiếp.

 

3 đường tròn (BTHC), (BMGC), (MGHT) cắt nhau tại 3 trục đẳng phương BC, GM, HT nên BC, GM, HT đồng quy hay GM,NH,BC đồng quy.

sao AQ vuông góc NH vậy

Tình hình là không ai giải bài này, thôi mình chém luôn   .

 

Thay $y=x^3$ ta có : $f(0)+2x^{12}+6x^3(f(x))^2=f(f(x)+x^3)$ (1)

 

Thay $y=-f(x)$ ta có : $f(x^3+f(x))-2(f(x))^4-6(f(x))^3=f(0)$ (2)

 

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

 

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

bạn giải thích rộn hơn chỗ này đc ko :Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$