Kagome

Tìm x biết $6x^{5}-29x^{4}+27x^{3}+27x^{2}-29x+6=0$

$PT\Leftrightarrow (x-2)(x-3)(3x-1)(2x-1)(x+1)=0$

Giúp mình câu d cuối với các bạn!

$AH \parallel OC,CH \parallel OA$ ( cùng vuông $MC,OA$ ) $\Rightarrow AHCO$ là hình bình hành, mà $OA=OC$ (bán kính) $\Rightarrow AHCO$ là hình thoi $\Rightarrow AH=AO$ (ko đổi)

Mà $A$ cố định (gt) $\Rightarrow H \in (A,AO)$.

Giới hạn : Gọi $D$ là giao điểm của $(A,AO)$ với $AQ$

Khi $M \equiv D$ thì $M \equiv H$, khi đó $H$ ko là trực tâm $\triangle AMC \Rightarrow$ ko tồn tại quỹ tích của $H$ khi $H \equiv D$.

Khi $M$ tiến ra xa $A$ thì $H$ tiến tới gần $O$.

Vậy tập hợp điểm $H$ là đường tròn $(A,AO)$ trừ điểm $D$ và điểm $O$.

Cho hình thang cân ABCD , AB//DC gọi I,E,F lần lượt là trung điểm AB,BD,AC vẽ Ex vuông với EI vẽ Fy vuông FI ,Ex cắt Fy tại H. Chứng minh HD=HC  

Do đường trung bình và tính chất hình thang cân nên $IE=IF$, mà $\angle IEH=\angle IFH, IH$ cạnh chung

$\Rightarrow \triangle IEH=\triangle IFH \Rightarrow HE=HF\Rightarrow IH$ là đường trung trực của $EF$

$\Rightarrow IH$ đi qua trung điểm của $EF$ và vuông góc với $EF$.

Áp dụng $Thales$ $\Rightarrow IH$ đi qua trung điểm của $DC$, mà $IH \perp DC(EF \parallel CD,IH \perp EF )\Rightarrow đpcm$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt{(x-2010)^2}+\sqrt{(x-2011)^2}$ và giá trị của x tương ứng.

$A=\left | x-2010 \right |+\left | 2011-x \right |\geqslant\left | x-2010+2011-x \right |=1$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 2010\leqslant x\leqslant 2011$

Câu 2: Cmr $\forall$ số tự nhiên n, phân số sau đây tối giản : $\frac{21n+4}{14n+3}$

Đặt $(21n+4,14n+3)=d$  $(d \in \mathbb{N}, d \neq 0)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 21n & + & 4 & \vdots & d\\ 14n & + & 3 & \vdots & d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 42n & + & 8 & \vdots & d\\ 42n & + & 9 & \vdots & d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1\vdots d \Rightarrow d=1$

Vậy...

Bài 1: Cho hình vuôn ABCD. Góc $\widehat{xAy}=45^o$ quay quanh đỉnh A, các cạnh Ax, By cắt các cạnh BC và CD thứ tự tại P và Q. Kẻ PM song song với AQ, QN song song với AP, đường thẳng MN cắt AP tại E và cắt AQ tại F.Chứng minh rằng:

a) $\Delta BPM \sim \Delta DAQ$

b) AM = AN

c) $EF^2=ME^2+NF^2$

Bạn vẽ hình ra được ko vậy? Mình ko hiểu cái đề.

a)$\triangle MCO: MC<MO+CO$ (dấu bằng ko xảy ra)

c)Kẻ trung trực $OD$ của $AB$ ($D$ thuộc nửa đường tròn chứa điểm $M$), gọi $E,F$ trung điểm của $DO,MO \Rightarrow E$ cố định.

Gọi $F$ trung điểm của $OM$

$\triangle MIF=\triangle OPE$ ( $MI=OP$ gt, $\angle IMO=\angle DOM$ song song, $MF=OE=\frac{1}{2}R$ với $R$ là bán kính đường tròn $(O)$) $\Rightarrow FI=EP=\frac{1}{2}R$ (ko đổi) 

Vậy $P$ di chuyển trên đường tròn $(E, \frac{DO}{2})$, giới hạn chắc ko có. 

Câu b mình chưa nghĩ ra.

Dây đi qua M có độ dài ngắn nhất là dây vuông góc với OM, dây đó có độ dài là 30.

Dây đi qua M có độ dài lớn nhất là đường kính, dây đó có độ dài là 34.

Các số nguyên từ 30 đến 34 là 30,31,32,33,34.

Vì chỉ có duy nhất một dây dài nhất và dây ngắn nhất nên chỉ có một dây có số đo 30, một dây có số đo 34, có hai dây có số đo là 31, hai dây có số đo là 32, hai dây có số đo 33. Vậy có 8 dây đi qua M có độ dài là số tự nhiên.

P/s: mới học hôm thứ 5. 

Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O); AC và BD cắt nhau tại P. Gọi I và H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABP$ và trực tâm $\Delta CDP$. CM: P,I,H thẳng hàng.

Gọi $K$ là giao điểm của $IP$ với $CD$

$\angle CPK=\angle IPA=90^{\circ}-\frac{\angle AIP}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}sđAP$ (do đối đỉnh ) 

$\angle PCD=\angle PBA=\frac{1}{2}sđAP$ 

Cộng từng vế được $\angle CPK+\angle PCD = 90^{\circ} \Rightarrow PKC=90^{\circ} \Rightarrow IP$ đi qua trực tâm của $\triangle PCD \Rightarrow đpcm$

Bài 4:

2)CM bổ đề $cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC$:

Hệ pt $\left\{\begin{matrix} a & = & cosB.c & + & cosC.b\\ b & = & cosA.c & + & cosC.a\\ c & = & cosA.b & + & cosB.a \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a & = & (cosA.b+cosB.a)cosB & + & cosC.b\\ b & = & (cosA.b+cosB.a)cosA & + & cosC.a \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a & = & cosA.cosB.b & + & cos^2B.a & + & cosC.b\\ b & = & cosA.cosB.a & + & cos^2A.b & + & cosC.a & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a(1-cos^2B) & = & b(cosA.cosB+cosC)\\ b(1-cos^2A) & = & a(cosA.cosB+cosC) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (cosA.cosB+cosC)^2=(1-cos^2B)(1-cos^2A)$

$\Rightarrow  cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosA.cosB.cosC$

Bài toán: 

Vì các góc $A,B,C$ là các góc nhọn nên $cosA,cosB,cosC>0\Rightarrow 2cosA.cosB.cosC>0\Rightarrow đpcm$

 

Bài 4 (6 điểm):

2) Cho tam giác ABC nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

 a) $\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=2$

 b) $cos^{2}A +cos^{2}B + cos^{2}C <1$

a)$\frac{HA}{AD}+\frac{HB}{BE}+\frac{HC}{CF}=\frac{S_{ABC}-S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABC}-S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{ABC}-S_{AHB}}{S_{ABC}}=2$

Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $AB=c, BC=a, CA=b$. Các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$ thỏa mãn $\widehat{C}=2\widehat{A}+\widehat{B}$.

Chứng minh rằng: $c^2<2a^2+b^2$

Mình giải thử nhá

Giả sử $c^{2} \geqslant 2a^{2}+b^{2}$

$\Leftrightarrow c^{2}-2a^{2}-b^{2} \geqslant 0$. Áp dụng định lý cos $c^2=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2ab.cosC-2a^{2}-b^{2} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow -a^{2}-2ab.cosC \geqslant 0$ (vô lý) => đpcm

Mình giải thấy kỳ quá nhỉ. Thế thì đâu cần tới giả thiết làm gì

quan trọng là bđt chuybershev là ntn và điều kiện các biến của bđt lag gì vậy bạn?

http://diendantoanho...thức-chebyshev/

Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn điều kiện $\frac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz=1$. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biều thức:

B=x+y+z

gt$\Rightarrow 3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2 \Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2=2$

$\Rightarrow (x+y+z)^2+(x-y)^2+(x-z)^2=2 \Rightarrow -\sqrt{2} \leqslant x+y+z \leqslant \sqrt{2}$

Vậy $gtlnB=\sqrt{2} \Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}$

       $gtnnB=-\sqrt{2} \Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}$ 

Trên các cạnh của tam giác nhọn $ABC$ dựng về bên ngoài các tam giác đều $ABC'$,$BCA'$,$CAB'$.Chứng minh $AA'$,$BB'$,$CC'$ đồng quy .

$AC'BD$ nội tiếp đường tròn $\Rightarrow C'D$ là phân giác $\angle ADB$

CM tương tự $B'D, A'D$ là phân giác $\angle ADC, \angle BDC$

Gọi I,H,K là giao của CC' với AB, BB' với AC, AA' với BC

Do tính chất tia phân giác $\frac{IA}{IB}=\frac{DA}{DB}, \frac{HA}{HC}=\frac{DA}{DC}, \frac{IB}{IC}=\frac{DB}{DC}$