lovemathforeverlqd

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và đường tròn nội tiếp $(I)$, phân giác $AD$. Đường tròn $(K)$ qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D$. Vẽ $DE, DF$ vuông góc $KB, KC$ ($D,E$ thuộc $KB, KC$). Chứng minh rằng $B,D,I,E,C$ đồng viên. 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$, tồn tại các số nguyên $x,y,z$ sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=wp$ và $0<w<p$

Chứng minh tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn:

$$n^{2}|(2^{n}+1)(3^{n}+1)$$

Chứng minh rằng mọi số nguyên tố có dạng 4k+1 đều có thể biểu diễn thành tổng 2 số chính phương.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p và a nguyên dương, số $a^{p}-1$ luôn có ít nhất một ước nguyên tố q thỏa mãn:

$$q\equiv 1 modp$$

Dạng 1:

Với mọi $a> b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì $a^{n}-b^{n}$ luôn có một ước nguyên tố p thỏa mãn $p|a^{n}-b^{n}$ nhưng p không là $|a^{k}-b^{k}$ với mọi $1\leq k< n$.

(trừ các trường hợp $2^{6}-1^{6}$ và $a^{2}-b^{2}$ với a+b là lũy thừa của 2)

Dạng 2:

Với mọi $a> b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì $a^{n}+b^{n}$ luôn có một ước nguyên tố p thỏa mãn $p|a^{n}+b^{n}$ nhưng p không là $|a^{k}+b^{k}$ với mọi $1\leq k< n$. (trừ trường hợp $2^{3}+1^{3}$)