huyqhx9

Cho các số thực dương thỏa mạn x+y+z=3. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x(y+z)}{4-yz}$ $\geq 2xyz$

Cho a,b,c là các số thực đôi một phân biệt thỏa mạn: ab+bc+ac $>$ 0 và a+b+c=1.Tìm GTNN cuả biểu thức

$P=\frac{2}{|a-b|}+\frac{2}{|b-c|} +\frac{2}{|c-a|} +\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mạn x+y+z =3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

minP=$\sum \frac{x^{2}}{2y^{3}+x}$

Cho dãy số ( u(n)) xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ n(n^{2}-1)u_{n} = u_{1}+2u_{2}+3u_{3}+.....+(n-1)u_{n-1}& \end{matrix}\right.$ , mọi n>1 ,$n\in N$.

Tìm $Lim\frac{9}{2}(n^{3}-n)u_{n}$

cho tập hợp A= { 1,2,3....2017}. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn ra một bộ gồm bốn số phân biệt từ tập A sao cho chúng lập thành một cấp số nhân tăng với công bội là một số tự nhiên lẻ/

Cho $a,b,c > 0$ thỏa $ab + bc+ ac=1.$ Chứng minh:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

giải hệ:

$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}=2 \\ y^{2}+2y+2=(y+2)\sqrt{x^{2} + 1} \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: vơi mọi a,b,c > 0 thì:

$\frac{(a+b+c)^{2}}{abc}+\frac{54}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}\geq \frac{81}{a+b+c}$

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

Cho tam giác ABC sao cho CotA + CotC = 2CotB.

Tìm Max góc B

cho $\frac{a^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{3}+\frac{c^{2}}{4}\geq a+b+c$

Tìm GTNN của :

$4\frac{(a+b-c)}{a^{3}}+3\frac{(b+c-a)}{b^{3}}+2\frac{(a+c-b)}{c^{3}}$

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác .Các đường thẳng AM,BM,CM thao thứ tự cắt BC,CA,AB tại $A_{1},B_{1},C_{1}$.Gọi X,Y,Z,$X_{1},Y_{1},Z_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB,$B_{1}C_{1}$,$A_{1}C_{1}$,$A_{1}B_{1}$.Chứng minh:X$X_{1}$,Y$Y_{1}$,$ZZ_{1}$ đồng quy.

 

2)Cho a,b,c>0. Cmr: $(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right )\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

P/s: Em lớp 9.......!

BĐT$\Leftrightarrow$ $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c})\geq 3abc + 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\Leftrightarrow \sum \frac{ab^{3}}{c}+\sum \frac{a^{3}b}{c}\geq 2\sum a^{3}\Leftrightarrow \sum a^{3}(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})\geq 2\sum a^{3}$

BĐT cuối hiển nhiên vì $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2$

dễ chứng minh :$(x-y)(y-z)(z-x)\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $\sum x^{2}y \geq \sum xy^{2}$ $\Leftrightarrow$ $18\sum x^{2}y\geq 18\sum xy^{2}$

Lại có: $\sum x^{2}y\geq 3xyz$

vậy ta có đpcm

Cho $x,y,z >0$. Chứng minh: $19(x^2y+y^2z+z^2x)-3xyz \geq 18(x^2z+y^2x+z^2y)$

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng :

$(a^{5}-a^{2}+3)(b^{5}-b^{2}+3)(c^{5}-c^{2}+3)\geq (a+b+c)^{3}$