Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Zz Isaac Newton Zz

Đăng ký: 27-06-2016
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 07:01
****-

#726612 Chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 19-10-2019 - 10:18

Chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm, nếu một nhóm $G$ có một $3-$nhóm con $Sylow$ và không có nhóm thương nào đẳng cấu với nhóm đơn $Suzuki - Sz(q)$ thì $G$ giải được, trong đó nhóm $Suzuki$ là nhóm đơn không $Abel$ có cấp không chia hết cho $3.$




#724817 Ebook chuyên đề phương trình hàm trên các tập rời rạc.

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 23-08-2019 - 05:19

Gửi tặng diễn đàn mình một tài liệu cực hay, khó và chất của nhóm tụi mình nha, đó là chuyên đề Phương trình hàm trên các tập rời rạc.

Xin giới thiệu, mình là: Doãn Quang Tiến, mong mọi người hưởng ứng và ủng hộ bản ebook rất hay này.

Link: https://drive.google...L0SP1tMfal8pzJU




#720629 $f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019y)$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 04-03-2019 - 00:19

Nguồn: RMM 2019 P5. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+yf\left ( x \right ) \right )+f\left ( xy \right )=f\left ( x \right )+f\left ( 2019y \right ),\forall x, y\in \mathbb{R}.$




#718631 Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn: $...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 23-12-2018 - 15:35

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+1$ chia hết cho $59^{2019}.$




#715645 Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không thể phân tích đ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 16-09-2018 - 23:39

Cho số nguyên tố có 4 chữ số $p=\overline{abcd}$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ không thể phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc lớn hơn 0 với hệ số nguyên.

Bài toán là trường hợp riêng của tiêu chuẩn $Cohn$ trong đa thức bất khả quy sau đây:

Cho $p$ là số nguyên tố. Giả sử $p$ được viết dưới dạng hệ cơ số $b\geq 2$ như sau: $p=a_{n}.b^{n}+a_{n-1}.b^{n-1}+...+a_{1}.b+a_{0},$ với $0\leq a_{i}\leq b-1,i=\overline{0,n}.$ Khi đó đa thức: $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ].$




#715423 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 11-09-2018 - 17:52

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ hai: 11 - 9 - 2018

Câu 1: Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: $\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$

Câu 2: Cho các số nguyên $m,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^{2}-x$ với $x=\overline{1,n}$ không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho $m.$ Chứng minh rằng:

(a) $m\geq 2n-1.$

(b) $m=2n-1$ khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố lẻ.

Câu 3: Với mỗi số nguyên $n> 1,$ ta gọi một hoán vị $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$ của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu: $\left | a_{1}-1 \right |=\left | a_{2}-2 \right |=...=\left | a_{n}-n \right |\neq 0.$

Chứng minh rằng:

(a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.

(b) Nếu $n$ chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\frac{n}{2}.$

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ).$ $P,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,OAC.$ $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC.$ Gọi $X$ là giao điểm của $RB$ và $CP,$ $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ.$ Chứng minh rằng: $\widehat{BAX}=\widehat{YAC}.$




#715389 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 10-09-2018 - 20:24

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI.

Ngày thi thứ nhất: 10 - 9 - 2018

Câu 1: Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.

Câu 2: Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn: $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$

Xét dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi $x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\forall n\in \mathbb{Z}^{+}.$ Chứng minh:

(a) $x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$

(b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó.

Câu 3: Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right ),I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC,$ $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB,$ $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ và đường tròn $\left ( O \right ).$ Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P.$ Đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q.$

(a) Chứng minh rằng tứ giác $EFPQ$ nội tiếp một đường tròn.

(b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC.$ Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFPQ$ nằm trên $\Delta .$




#715339 Cho $2017$ điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 09-09-2018 - 16:14

Cho $2017$ điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn nối hai điểm ta viết một số nguyên dương bất kì không vượt quá $k$ sao cho ba điểm bất kì tạo thành tam giác mà các số trên cạnh tam giác có dạng $x,x,y$ với $x< y.$ Tìm $k$ nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.




#715297 Chứng minh rằng với mọi cách lấy $n$ phần tử của $S$ bao...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 07-09-2018 - 22:14

Cho $n\geq 6$ và tập hợp $S=\left \{ 1,2,...,2n \right \}.$ Chứng minh rằng với mọi cách lấy $n$ phần tử của $S$ bao giờ cũng tìm được hai phần tử có bội chung nhỏ nhất không vượt quá $3n+6.$




#715256 Cho $n$ là số nguyên dương, xét tập hợp $S=\left \...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 06-09-2018 - 20:07

Cho $n$ là số nguyên dương, xét tập hợp $S=\left \{ 1,2...,4n^{2} \right \}.$ Phân hoạch tập $S$ thành $2n^{2}$ nhóm $\left \{ a,b \right \}$ sao cho: $\left | a-b \right |\in \left \{ 1,2n \right \}.$ Với mỗi cách phân hoạch trên ta xét tổng các tích $ab.$ Hãy tìm phân hoạch có tổng trên lớn nhất.




#715205 $f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 05-09-2018 - 15:36

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

Ta viết lại đẳng thức dưới dạng: $f\left ( \left ( x+y \right )^{2}+2f(xy)-2xy \right )=f^{2}\left ( x+y \right ),\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

Đặt: $x+y=a,xy=b$ và $g\left ( x \right )=2\left ( f(x)-x \right )$ khi đó (1) viết lại dưới dạng: 

$f\left ( a^{2}+g(b) \right )=f^{2}\left ( a \right )$ với mọi $b=xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}.$

Đặt: $M=\left \{ g(b)\mid b\in \mathbb{R} \right \}$ và $T=\left \{ g(b_{1})-g(b_{2})\mid b_{1},b_{2}\in \mathbb{R} \right \}$

Với mọi $x$ đủ lớn thì $f$ tuần hoàn theo chu kì $t\in T.$

Ta có: $g\left ( \left ( x^{2}+a_{1} \right )^{2}+a_{2} \right )-g\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right )=2\left [ f\left ( \left ( x^{2}+a_{_{1}} \right )^{2}+a_{2} \right )-\left ( \left ( x^{2}+a_{1} \right )^{2}+a_{_{2}} \right ) \right ]-2\left [ f\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right )-\left ( \left ( x^{2}+a_{2} \right )^{2}+a_{2} \right ) \right ]=2\left [ f^{4}(x)-f^{4}(x)+2(a_{2}-a_{_{1}})x^{2}+a_{2}^{2}-a_{1}^{2} \right ]=4(a_{2}-a_{1})x^{2}+2\left ( a_{2}^{2}-a_{1}^{2} \right )\in T$

Giả sử tồn tại hai số $a_{1},a_{2}$ sao cho $a_{1}< a_{2}.$ Suy ra trong $T$ chứa một đoạn liên tục trên $\mathbb{R}$ và với mọi số $x$ đủ lớn thì $f$ tuần hoàn theo chu kì bất kì trong đoạn này.

Từ đây ta có $f$ là hàm hằng với mọi $x\geq x_{1},$ hay $f(x)=c,\forall x\geq x_{1},c=const.$

Ta chọn một số $a$ đủ lớn để $a\geq x_{1},x^{2}+a\geq x_{1}$ thì ta suy ra: $c^{2}=c\Rightarrow c=\left \{ 0,1 \right \}.$ Tới đây ta đi xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: nếu $c=0$ thì $f\left ( y^{2}+g(x) \right )=f^{2}(y)=f^{2}(-y),$ do đó với mọi $y\leq -x_{1}$ hoặc $y\geq x_{1}$ thì $f(y)=0.$

Suy ra: với mọi $y\leq -x_{1}$ thì $g(y)=-2y.$ Với mọi $x\in \mathbb{R}$ tồn tại $y\leq -x_{1}$ để $x^{2}-2y>x_{1}.$ Từ đó $f^{2}(x)=f(x^{2}-2y)=0\Rightarrow f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}.$

Trường hợp 2: nếu $c=1$ thì với mọi $y\leq -x_{1}$ ta có: $f(y)=\pm 1,g(y)=\pm 2-2y,$ suy ra: $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\leq -x_{1}$ sao cho: $x^{2}\pm 2-2y>x_{1}$ và $f^{2}(x)=f\left ( x^{2}\pm 2-2y \right )=1\Rightarrow f(x)=\pm 1,\forall x\in \mathbb{R}.$

Trong trường hợp $f$ không đồng nhất với $1$ thì $\exists x_{0}:f(x_{0})=-1.$

Suy ra: $x_{0}\neq x^{2}+g(y),y\leq \frac{x^{2}}{4}.$

Xét $y\leq 0,x\in \mathbb{R}$ thì $x_{0}< g(y),\forall y\leq 0.$

Mặt khác $g(0)\leq 2$ nên $x_{0}<2.$ Suy ra: $f(x)=1,\forall x\geq 2$ và $g(x)=2-2x,\forall x\geq 2.$

*Giả sử $x_{0}\geq 0$ khi đó $g(x_{0})=-2-2x_{0}$ và với mọi $x_{0}\leq \frac{a^{2}}{4}$ thì $f(a^{2}-2-2x_{0})=f^{2}(a)\geq 0\Rightarrow f(m)=1,\forall m\geq 2x_{0}-2$

Từ đây ta suy ra: $2x_{0}-2>x_{0}\Leftrightarrow x_{0}>2,$ mâu thuẫn nên do đó ta phải có: $x_{0}<0.$

*Với $g(x_{_{0}})=-2-2x_{_{0}}$ và $f(a^{2}-2-2x_{0})=f^{2}(a)\geq 0,$ suy ra: $f(m)=1,\forall m\geq -2-2x_{0}\Rightarrow -2-2x_{0}> x_{0}\Leftrightarrow x_{0}<\frac{-2}{3}.$ Do đó: $f(x)=1,\forall x\geq \frac{-2}{3}.$ Ta sẽ chứng minh rằng $x^{2}+g(y),$ với $x^{2}\geq 4y$ sẽ không thể nhận giá trị bé hơn $\frac{-2}{3}.$

*Nếu $y< \frac{-2}{3}$ thì $g(y)=\pm 2-2y$ và $x^{2}+g(y)\geq -2-2y\geq \frac{-2}{3}.$

*Nếu $y\geq \frac{-2}{3}$ thì $g(y)=2-2y$ thì có hai khả năng:

+ Nếu $y\leq 0$ thì $x^{2}+g(y)=x^{2}+2-2y>0.$

+ Nếu $y>0$ thì $x^{2}+g(y)\geq 4y+2-2y=2+2y>0.$

Từ đây ta có kết luận về họ hàm thỏa mãn đề bài là: $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \forall x\geq \frac{-2}{3} & \\ -1 & \forall x< \frac{-2}{3} & \end{matrix}\right.$

Vậy tất cả các hàm $f$ thỏa đề bài là: $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=1,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R},$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \forall x\geq \frac{-2}{3} & \\ -1 & \forall x< \frac{-2}{3} & \end{matrix}\right.$




#715181 Chứng minh rằng $k\geqslant n.$

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 04-09-2018 - 17:59

Cho số nguyên dương $n>1.$ Biết rằng tồn tại các số nguyên dương $n_{1},n_{2},...,n_{k}$ sao cho $\sum_{m=1}^{k}2^{n_{m}}$ chia hết cho $2^{n}-1.$ Chứng minh rằng $k\geqslant n.$




#714360 CMR tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho với mỗi $p$ sẽ...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 14-08-2018 - 15:49

Cho $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên bất khả quy trên $\mathbb{Q}\left [ x \right ]$ có bậc dương, chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho với mỗi $p$ như thế sẽ tồn tại $n\in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn: $v_{p}\left ( P(n) \right )=1.$




#713109 Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 23-07-2018 - 21:55

Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ thỏa mãn: $\left | P\left ( x \right ) \right |<1,\forall x\in \left [ a,a+4 \right ],a\in \mathbb{R}$ cho trước. Chứng minh rằng: $P\left ( x \right )\equiv 0.$




#711501 Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số...

Gửi bởi Zz Isaac Newton Zz trong 24-06-2018 - 16:56

Cho hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện:

i. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ ta có $f(m)+f(n)>mn.$

ii. Với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$ thì  $f(m)+f(n)-mn$ là một ước của $mf(m)+nf(n).$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p>N$ thì $f(p)=p^{2}.$