ledacthuong2210

1, 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x=y(3x^{2}-1)\\ y^{3}-3y=z(3y^{2}-1) \\ z^{3}-3z=x(3z^{2}-1) \end{matrix}\right.$

Chào các bạn!

Trong không khí nô nức chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, ở lớp 10 nói riêng, bài tập chủ yếu ở các dạng bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, phương trình đường tròn,v..v.. Về phần bất đẳng thức đã có nhiều topic đề cập đến, riêng phần phương trình và hệ thì số lượng bài tập khá đa dạng và nắm vai trò không nhỏ (thường gặp ở những câu đầu tiên và chiếm nhiều điểm). Vì thế hôm nay, mình xin phép mở một topic để mọi người bàn về dạng bài tập này để củng cố kiến thức cho bản thân được tốt hơn nói riêng cũng như các bạn nói chung. Trong quá trình làm việc và viết bài thì không khỏi tránh sai sót cũng như bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm, rất mong bạn bè gần xa thông cảm và ủng hộ để topic thật phát triển. Mình xin gửi đến lời cảm ơn chân thành nhất.

Nội quy:

- Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài (tránh làm nhão topic).

- Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
- Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
- Không spam, lạc đề.

Một số phương pháp giải (tài liệu do mình và bạn NTA1907 sưu tầm):

*  Phương pháp đổi biến:

I) Phương trình đẳng cấp: $aP(x) + bQ(x) = c\sqrt{P(x).Q(x)}$    (1)

Phương pháp: Đặt $u = \sqrt{P(x)}$, $v = \sqrt{Q(x)}$       (u, v >= 0)

                  $(1) \Leftrightarrow  au^{2} + bv^{2} = c.u.v$    (2)

                  Nhận xét: v = 0 là nghiệm của (2) ?

                  $(2) \Leftrightarrow  a(\dfrac{u}{v})^{2} +  b - c.\dfrac{u}{v} = 0$

* Phương pháp nhân liên hợp:

II) Nghiệm vô tỉ

Sử dụng: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

            $(\sqrt[3]{a} \underline{+} \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}} \overline{+} \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}) = a \underline{+} b$

*  Dạng phương trình: $\sqrt[3]{A(x)} \pm  \sqrt[3]{B(x)} = \sqrt[3]{C(x)}$

Phương pháp: Lập phương hai vế.

* Dạng phương trình: $a^{2} + bx + c = \sqrt{px^{2} + qx + r} (a.p \neq  0)$

Phương pháp:

         TH1: $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$. Đặt $t = \sqrt{px^{2} + qx + r}$.

                Đưa về dạng phương trình bậc 2.

         TH2: $\left\{\begin{matrix} p = -b & & & \\ q = \dfrac{1 - b^{2}}{a} & & & \\ r = \dfrac{-c(1 + b)}{a} & & &\end{matrix}\right.$

                Đặt $t = ax^{2} + bx + c$ rồi đưa về hệ đối xứng loại 2

Phương pháp nâng lên luỹ thừa 2 vế:

Dạng 1: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&f(x)=g(x) \\&f(x)\geq 0(hoặc g(x)\geq 0)\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2x+4}=\sqrt{2-x}$(1)

(1)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+2x+4=2-x \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+3x+2=0 \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn) hoặc $x=-2$(thoả mãn)

Dạng 2: $\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0 \\&f(x)=g(x)^{2}\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2$(2)

(2)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&4+2x-x^{2}=x-2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-x-6=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-2$(không thoả mãn) hoặc $x=3$(thoả mãn)

Dạng 3: $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0  & \\&h(x)\geq 0  & \\&f(x)=g(x)+h(x)+2\sqrt{g(x).h(x)}  &\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1$(3)

(3)$\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&3x+1=1+2\sqrt{x+4}+x+4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&x-2=\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-5x=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=0$(không thoả mãn) hoặc $x=5$(thoả mãn)

Chú ý: Các dạng nâng lên luỹ thừa bậc chẵn và lẻ thì làm tương tự như trên, riêng bậc lẻ thì không cần điều kiện.

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: $(ax+b)^{n}=p.\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}+qx+r$

+)$p.a^{'}> 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=at+b$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)$p.a^{'}< 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=-(at+b)$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:$4x^{2}+\sqrt{3x+1}+5=13x$(1)

Đk: $x\geq \dfrac{-1}{3}$

(1)$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=-\sqrt{3x+1}+x+4$

Đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-3)(y\leq \dfrac{3}{2})$

Ta được hệ:$\left\{\begin{matrix}&(2x-3)^{2}=2y+x+1 \\&(2y-3)^{2}=3x+1\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$4(x^{2}-y^{2})-12(x-y)=2(y-x)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y-5)=0$

+) $x=y\Rightarrow (2x-3)^{2}=3x+1$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{15+\sqrt{97}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8}$(thoả mãn)

+) $2y=5-2x\Rightarrow (2x-3)^{2}=5-2x+x+1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-11x+3=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{11-\sqrt{73}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$(thoả mãn)

Dạng 2: $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)=\gamma .\sqrt{P(x).Q(x)}$

+)$P(x)=0\Rightarrow$ Thay vào phương trình

+)$P(x)\neq 0$, ta được: $\alpha +\beta .\dfrac{Q(x)}{P(x)}=\gamma .\sqrt{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}$

VD: Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(2)$

Đk: $x\geq 1$

(2)$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$\Leftrightarrow 3.\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}+2=7\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}=t\geq 0$

Khi đó ta có: $3t^{2}-7t+2=0$

$\Leftrightarrow t=2$ hoặc $t=\dfrac{1}{3}$

+)$t=2\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(vô nghiệm)

+)$t=\frac{1}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4+\sqrt{6}$(thoả mãn) hoặc $x=4-\sqrt{6}$(thoả mãn)

Dạng 3: $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta (\sqrt{P(x)}+\sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x)+Q(x)}+\gamma =0$

(trong đó $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ và $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0$)

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$, ta được phương trình: $At^{2}+Bt+C=0$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$(2)

Đk: $x\geq 2$

(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=2x-2-2\sqrt{x^{2}-4}$

Đặt $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}=2x-2\sqrt{x^{2}-4}$

$\Rightarrow t=t^{2}-2$

$\Leftrightarrow t=-1$(không thoả mãn) hoặc $t=2$(thoả mãn)

$t=2\Rightarrow \sqrt{x+2}=2+\sqrt{x-2}

\Rightarrow x+2=x+2+4\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow x=2$(thoả mãn)

Dạng 4: $ax^{2}+bx+c=\sqrt{px^{2}+qx+r}$

+)$\dfrac{a}{p}=\dfrac{b}{q}$, đặt $t=\sqrt{px^{2}+qx+r}$, đưa về phương trình bậc 2: $At^{2}+Bt+C=0$

+)$\left\{\begin{matrix}&p=-b  & \\&q=\dfrac{1-b^{2}}{a}  & \\&r=\dfrac{-c(1+b)}{a}  &\end{matrix}\right.$

Đặt $t=ax^{2}+bx+c$, ta được hệ phương trình đối xứng loại 2

VD: Giải phương trình: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Đk: $98-35x-6x^{2}\geq 0$

Đặt $x^{2}+6x-14=t\geq 0$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}&x^{2}+6x-14=t \\&t^{2}+6t-14=x\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$t-x=x^{2}-t^{2}+6(x-t)$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t+7)=0$

+)$x=t\Rightarrow x^{2}+6x-14=x$

$\Leftrightarrow x=-7$(không thoả mãn) hoặc $x=2$(thoả mãn)

+)$x+t=-7\Rightarrow x^{2}+7x-7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{-7-\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn)

*Phương pháp liên hợp:

Sử dụng: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

             $(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})=a\mp b$

*  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

Một số bất đẳng thức căn bản:

   - $|A|=|-A| \geq 0$. Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow A=0$

   - $|A| \geq A$. Dấu bằng xảy ra khi $\Leftrightarrow A \geq 0$

   - $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$

   - $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$

   - $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$

   - $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$

   - $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\dfrac{(a+b)}{2})^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$

   - $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

   Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ ta luôn có $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$.

   Dấu "=" khi và chỉ khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):

   Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$) ta luôn có:

          $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

   Dấu "=" có khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Bất đẳng thức Svac-xo

   Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có: $\dfrac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Bất đẳng thức Minkopsky:

   Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

   $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

   Dấu "=" xảy ra khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$.

...

Trên đây là một số phương pháp mình nêu ra để mọi người cùng tham khảo.

 

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+1}(3x^{2}+x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x$

b) $3 - x =\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Bài 2: Giải phương trình sau:

$\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

 

Lưu ý: Trong quá trình làm việc, có một số thành viên đã đóng góp cho topic những tài liệu quan trọng và rất bổ ích, lý thú, thay mặt các mem trong topic, mình xin chân thành cảm ơn các bạn rất nhiều. Sau đây là một số tài liệu về phương trình mà các bạn đã đóng góp nói trên cũng như mình đã sưu tầm được trong thời gian qua!

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: (ax+b)n=p.n√a′x+b′+qx+r(ax+b)n=p.a′x+b′n+qx+r

+)p.a′>0p.a′>0

Đặt n√a′x+b′=at+ba′x+b′n=at+b, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)p.a′<0p.a′<0

Đặt n√a′x+b′=−(at+b)a′x+b′n=−(at+b), sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:4x2+√3x+1+5=13x4x2+3x+1+5=13x(1)

nếu mình phân tích thành:

$(2x-1)^{2}=-\sqrt{3x+1}+9x-4$

đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-1)$

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} (2x-1)^{2}=-2y+9x-3\\ (2y-1)^{2}=3x+1 \end{matrix}\right.$

phương trình này không giải được.Mình thấy cách của bạn đưa ra hơi sao sao dù rất hay

Câu 3: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=8$

Tìm GTLN của $P=x^3y+y^3z+z^3x$

các câu khác thì dễ rồi.

câu V.2

với c<=0 thì bất đẳng thức đúng

với c>0 thì chia hai vế của bất đẳng thức cho c được

$2\sqrt{(\frac{a}{c})^2-\frac{a}{c}*\frac{b}{c}+(\frac{b}{c}})^2+\sqrt{(\frac{a}{c})^2-2\frac{a}{c}+4}+\sqrt{(\frac{b}{c})^2-2\frac{b}{c}+4} \geq 8$

<=>$\sqrt{8-\frac{a}{c}*\frac{b}{c}}+\sqrt{(\frac{a}{c}-1)^{2}+3}+\sqrt{(\frac{b}{c}-1)^{2}+3}$>=8(1)

ta có a+b=4c <=> a/c+b/c=4

theo bất đẳng  thức cô si thì a/c*b/c<=(a/c+b/c)^2/4=4^2/4=4 => $2\sqrt{8-\frac{a}{c}*\frac{b}{c}}>=4$(2)

và $\sqrt{(\frac{a}{c}-1)^{2}+3}+\sqrt{(\frac{b}{c}-1)^{2}+3}$>=$\sqrt{(a/c-1+b/c-1)^{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}}$ ( tự chứng minh)

=4(3)

 từ 2 và 3 suy ra(1) đúng dấu = xảy ra khi a=b=2c

CHo tam giác $ABC (AB<AC), BE$ là phân giác góc $B.D$ thuộc $AC$ sao $AD=AB.I$ là trung điểm $BD.(O)$ tiếp xcs $AB,BC,AC$ tại $M,N,P. K$ là giao của $BE$ và $NP$. chứng minh

a) $N,I,K$ thẳng hàng

b)$ AMNK$ là hình gì?

c) $BO(AB+BC+AC)=BE(AB+BC).$

chúc các bạn làm bài tốt.ok.