thjiuyghjiuytgjkiutghj

Chọn $p,q\in \mathbb{R}^+$ sao cho $n=p^p-q^q$ thì $n$ phải nguyên dương (vì nếu $n=0$) thì cuối cùng cũng chỉ tìm được $f(1)=1$)

Còn ở đoạn cuối nên sửa lại thế này :

Cho $q=1$ $\Rightarrow (f(p))^p=1+n$ $(*)$

Mặt khác $q=1\Rightarrow p^p=1+n$ $(**)$

$(*)$,$(**)$ $\Rightarrow f(p)=p$ hay $f(x)=x$

 

Nhưng cách làm như trên chỉ tìm được $f(p)=p$ với các số $p$ không nguyên và thỏa mãn $p^p$ là số nguyên lớn hơn $1$. Còn với các số $p$ không nguyên và không thỏa mãn điều kiện trên thì chưa chứng minh được $f(p)=p$.

 

Mình chọn $p \in \mathbb{R}^{+}$ mà nên $f(p)=p$ cũng đồng nghĩa với $f(x)=x$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

Thế $a=0,b=1$ vào hàm số ta được $:$ $f(0.x^{x}+1)=0.(f(x))^{x}+1 \Leftrightarrow f(1)=1$

Chọn $p,q \in \mathbb{R}^{+}$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho $n=p^{p}-q^{q}$

Thế $x=p,a=1,b=0$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.p^{p}+0)=1.(f(p))^{p}+0 \Leftrightarrow f(p^{p})=(f(p))^{p}$ $(1)$

Tiếp tục thế $x=q,a=1,b=n$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.q^{q}+n)=1.(f(q))^{q}+n \Leftrightarrow f(q^{q}+n)=(f(q))^{q}+n$ $(2)$

Lại có $:$ $n=p^{p}-q^{q} \Leftrightarrow p^{p}=n+q^{q} \Rightarrow f(p^{p})=f(q^{q}+n)$ $(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow (f(p))^{p}= (f(q))^{q}+n$

Từ đó cho $p=1$$,$ ta được $:$ $(f(q))^{q}+n=(f(1))^{1}=f(1)=1 \Leftrightarrow (f(q))^{q}=1-n$ $(*)$

Từ $p=1$$,$ ta lại có $:$ $n= p^{p}-q^{q}= 1^{1}-q^{q}=1-q^{q} \Leftrightarrow q^{q}=1-n$ $(**)$

$(*)(**) \Rightarrow (f(q))^{q}= q^{q} \Rightarrow f(q)=q$ hay $\boxed{f(x)=x}$

Thử lại thấy thỏa mãn$.$ Vậy đó là hàm số duy nhất cần phải tìm$.$

$\left\{\begin{array}{l} x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) - 6x^2y + 3x^2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^2 + y)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)(2y - 1 - 3) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1) \,\, (1)\\\left[\begin{array}{l}x = 0\\y = \dfrac{1}{2} \,\, (VN)\\y = 2\end{array}\right.\end{array}\right. $

$\overarc{AB}$

$\not\equiv$