thjiuyghjiuytgjkiutghj

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$$.$ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta OBC$ cắt $AO$ ở $M$$.$ Từ $M$$,$ vẽ hai tiếp tuyến $ME,MF$ với $(O)$$.$ Chứng minh $EF,AM,BC$ đồng quy$.$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

Thế $a=0,b=1$ vào hàm số ta được $:$ $f(0.x^{x}+1)=0.(f(x))^{x}+1 \Leftrightarrow f(1)=1$

Chọn $p,q \in \mathbb{R}^{+}$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho $n=p^{p}-q^{q}$

Thế $x=p,a=1,b=0$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.p^{p}+0)=1.(f(p))^{p}+0 \Leftrightarrow f(p^{p})=(f(p))^{p}$ $(1)$

Tiếp tục thế $x=q,a=1,b=n$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.q^{q}+n)=1.(f(q))^{q}+n \Leftrightarrow f(q^{q}+n)=(f(q))^{q}+n$ $(2)$

Lại có $:$ $n=p^{p}-q^{q} \Leftrightarrow p^{p}=n+q^{q} \Rightarrow f(p^{p})=f(q^{q}+n)$ $(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow (f(p))^{p}= (f(q))^{q}+n$

Từ đó cho $p=1$$,$ ta được $:$ $(f(q))^{q}+n=(f(1))^{1}=f(1)=1 \Leftrightarrow (f(q))^{q}=1-n$ $(*)$

Từ $p=1$$,$ ta lại có $:$ $n= p^{p}-q^{q}= 1^{1}-q^{q}=1-q^{q} \Leftrightarrow q^{q}=1-n$ $(**)$

$(*)(**) \Rightarrow (f(q))^{q}= q^{q} \Rightarrow f(q)=q$ hay $\boxed{f(x)=x}$

Thử lại thấy thỏa mãn$.$ Vậy đó là hàm số duy nhất cần phải tìm$.$

Cho hình vuông $ABCD$ có $O$ là tâm$.$ Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$$,$ gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $BC$$.$ Gọi $E$ là giao điểm của $HO$ với $CD$ và $F$ là trung điểm của $AD$$.$ Chứng minh rằng ba điểm $E,F,M$ thẳng hàng$.$ 

Lấy $2$ điểm trên nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=2R$. Vẽ $MQ \perp AB$ tại $Q$, $NP \perp AB$ tại $P$. Xác định vị trí $M,N$ để $MQ+MN+NP$ lớn nhất, để $S_{MNPQ}$ lớn nhất. Tính các giá trị lớn nhất đó theo $R$.

Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$

Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$
$(1) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}=-z^{3}-3xy(-z)+z^{3}=3xyz$
Xét $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})={[(3xyz)[-2(xy+yz+zx)]]}=-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})$
$VT=5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (2)$
$VP=6(x^{5}+y^{5}+z^{5})=6[(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{2}y^{2}(x+y)-y^{2}z^{2}(y+z)-z^{2}x^{2}(x+z)]=6[-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})+x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}]=6[-5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})]=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow VT=VP (đpcm)$

Cho $a\in R$ và $a\geq2$. CMR : $P\geq4$, với $P=\frac{\sqrt{a^{2}}(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}})}{\sqrt{a^{2}-2a+1}}$