Câu 6)
Giả sử tồn tại cấp số cộng vô hạn (an) thỏa mãn an + an+1 + ...+ an+9 | anan+1...an+9 (*) với mọi n $\epsilon$ N*.
a1 = a. an+1 = an + d (d $\neq$ 0 ) d xác định
Suy ra an+2 = an + 2d
...
an+9 = an + 9d
(*) tương đương 10an + 45d | an(an + d)( an + 2d)...( an + 9d).
<=> 10an + 45d | 10an 10(an + d) 10( an + 2d) ... 10( an + 9d).
<=> 10an + 45d | 10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d).
lại có 10an + kd $\equiv$ (k-45)d (mod 10an + 45d) , k=0,10,..., 90.
suy ra 10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d) $\equiv$ $\prod$ (k-45) d10 ( mod 10an + 45d). vs k=0,10,..., 90.
<=> | $\prod$ (k-45) d10 | $\equiv$ 0 ( mod |10an + 45d |). vs k=0,10,..., 90.
vì dãy (an) tăng hoặc giảm và có vô hạn số nên tồn tại n0 đủ lớn sao cho |10ano + 45| > | $\prod$ (k-45) d10 | vs k=0,10,..., 90.
suy ra |10an + 45| không là ước của | $\prod$ (k-45) d10 | ( mâu thuẫn )
Vậy không tồn tại cấp số cộng (an) thỏa mãn