chachacha

và anh có thể chứng minh hộ em công thức với m màu, n đỉnh thì số cách tô là (m-1)ⁿ+(m-1)(-1)ⁿ được không ạ

Từ các chữ số $\{1,2,3,4\}$ lập số có 7 chữ số sao cho các chữ số cạnh nhau thì khác nhau và chữ số cuối cùng khác chữ số đầu tiên. Lấy số cách lập được như vậy chia cho $7$ ta có kết quả của bài toán.

Dùng phương pháp đếm bao gồm-loại trừ ta đếm được

$S=4\times 3^6-4\times 3^5+4\times 3^4-4\times 3^3+4\times 3^2-4\times 3=2184$ số

Cụ thể như sau:

Gọi số cần lập là $a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7$

Chọn $a_1$ có $4$ cách

Chọn $a_2\neq a_1$ có $3$ cách

Chọn $a_3\neq a_2$ có $3$ cách

...

Chọn $a_7\neq a_6$ có $3$ cách

Tạo ra $S=4\times 3^6$ số

Nhưng ta đã tính thừa những trường hợp $a_7=a_1$

Chọn $a_1=a_7$ có $4$ cách

Chọn $a_2\neq a_1$ có $3$ cách

...

Chọn $a_6\neq a_5$ có $3$ cách

Loại đi $S=4\times 3^6-4\times 3^5$

Nhưng như vậy ta đã loại đi hai lần những trường hợp $a_6=a_7$

...

 

Tóm lại: Kết quả của bài toán là $\frac{2184}{7}=312$ cách tô màu.

em thì không giỏi dạng này, nhưng sao thầy lại đưa đáp án cho bọn em là 384 ạ

tại sao 

Phương trình $p(p-q)=(q+3)(q^2-3q+9)$

Dễ thấy $(p,q)=(7,2)$ là nghiệm. Nếu cả $p,q$ đều lẻ

TH1: $p|q+3\Rightarrow q+3\geq p\Rightarrow q^2-3q+9>q+3>p-q$, kéo theo $\text{VT}\leq \text{VP}$ ( vô lý)

TH2: $p|q^2-3q+9$. Đặt $q^2-3q+9=pk\rightarrow p-q=k(q+3)$. Ta thu được $q^2-q(k^2+k+3)+(9-3k^2)=0$. Với $k=1,2$ thì $q=3\Rightarrow p=9\not\in\mathbb{P}$.

Xét $k>2$, ta thấy $k|(2q-3)^2+27$, do đó nếu $r$ là ước nguyên tố lẻ nào đó của $k$ thì $\left ( \frac{-27}{r} \right )=\left ( \frac{-3}{r} \right )=1\Rightarrow r\equiv 1\pmod 6$, kéo theo $k\geq 7$. Nếu $k=7,8,9$ thì đều vô lý. Xét $k\geq 10$ 

Phương trình có nghiệm khi mà $T=(k^2+k+3)^2+4(3k^2-9)=k^4+2k^3+19k^2+6k-27$ là scp, với $k\geq 10$ dễ thấy $(k^2+k+8)^2<T<(k^2+k+9)^2$, do đó $T$ không thể là scp

Vậy $(p,q)=(7,2)$ 

dòng thứ 4 từ dưới lên là sao ạ

em không hiểu ạ

Phương trình tương đương $p(p-q)=(q+3)(q^2-3q+9)$

Vì p là số nguyên tố nên ta chỉ cần xét ít trường hợp bằng cách đồng nhất các nhân tử ở hai vế trái phải.

làm cụ thể hơn đi bạn, mình chưa hiểu lắm cái đoạn đồng nhất ấy

Nhưng trong trường hợp p chia 3 dư 1, q chia 3 dư 2 lại không thỏa mãn, thử với bộ số: p=31, q=5