lãng tử
Tìm kiếm
Nữ
Cauchy-Schwarz
12-04-2007 - 22:40
- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta luôn có bất đẳng thức sau:
$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ sao cho $b_{i} \geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \dfrac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}$
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta có:
$\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}$
3, Với mọi dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ ta có:
$\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)$
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho $|x|<1$ và $|y|<1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-x^2}+ \dfrac{1}{1-y^2} \geq \dfrac{2}{1-xy}$
2)CM bất đẳng thức sau với $x$ là số thực không âm:
$\dfrac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}$
3) $a,b,c >0$. CMR: $abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$
4)CMR:
$\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 $
với mọi $a,b,c \in (0;1)$
5)Tìm min:
$\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \dfrac{1}{x_{i}})^2$
với $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$
p/s: Mong các mod giúp đỡ thêm về phần bài tập để topic không bị rơi vào "quên lãng"
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta luôn có bất đẳng thức sau:
$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ sao cho $b_{i} \geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \dfrac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}$
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta có:
$\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}$
3, Với mọi dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ ta có:
$\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)$
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho $|x|<1$ và $|y|<1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-x^2}+ \dfrac{1}{1-y^2} \geq \dfrac{2}{1-xy}$
2)CM bất đẳng thức sau với $x$ là số thực không âm:
$\dfrac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}$
3) $a,b,c >0$. CMR: $abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$
4)CMR:
$\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 $
với mọi $a,b,c \in (0;1)$
5)Tìm min:
$\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \dfrac{1}{x_{i}})^2$
với $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$
p/s: Mong các mod giúp đỡ thêm về phần bài tập để topic không bị rơi vào "quên lãng"
