Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


yeutoan2001

Đăng ký: 02-07-2016
Offline Đăng nhập: 30-09-2018 - 17:49
-----

#703210 CMR: MN//BC//AD

Gửi bởi yeutoan2001 trong 10-03-2018 - 17:35

CHo hình thang ABCD; E thuộc AB; F thuộc CD.
   Gọi M là giao của FA và EC

   Gọi N là giao của FB và ED

CMR:  MN//BC//AD

 

P/s: ĐỊnh lí Pappus mà hơi đặc biệt




#693538 HÀ Tĩnh (vòng 1)

Gửi bởi yeutoan2001 trong 22-09-2017 - 23:09

Nguồn lượm trên FB

 

Hình gửi kèm

  • 21687953_1967427453540472_8394991483188064393_n.jpg



#693115 Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

Gửi bởi yeutoan2001 trong 15-09-2017 - 23:11

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

       Câu4:

              $ a+b+c=(b-a)(a-c)(b-c)$
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dù sao thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$ 
          Trước tiên: nếu $3$ số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia $3$ thì 
                 VP chia hết cho $3$
                       => VT  chia hết cho $3$
         Vậy còn trường hợp $a,b,c$ có bộ số dư khi chia cho ba lần lượt là $0,1,2$

                       Nhưng như vậy thì $a+b+c$  cũng chia hết cho $3$
Vậy $a+b+c$ chia hết cho $3$ nên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho $3$:

               Giả sử đó là $a,b$ cùng số dư  .

                     +>Ta giả sử $a,b$ chia cho $3$ cùng dư $0 $

                       => Vp Chia hết cho $3 => c$ chia hết cho $3 =>$ Vp chia hết cho $27 => a+b+c$ chia hết $27$

                    +> Giả sử a,b cùng chia 3 dư $1 =>$ vì $a+b+c$ chia hết cho 3 nên c cũng chia 3 dư 1

                         vậy $a-b,b-c,c-a $ chia hết cho $3 =>a+b+c$ chia hết 27 

                     +> cùng chia 3 dư 2  vì $ a+b+c$ chia hết cho 3 nên. c chia 3 dư 2 

                           Vậy $a-b;b-c;a-c $ chia hết cho $3 => a+b+c$ chia hết 27

===> QED 

               (lười Latex) 




#693113 Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

Gửi bởi yeutoan2001 trong 15-09-2017 - 22:38

Câu 1:  Đặt $v_n=\frac{1}{x_{n}+1}$   Hay thay $x_{n}=\frac{1-v_{n}}{v_{n}}$ 

 $=> v_{n+1}=1/3 +1/3.v_n $

           Tới đây dễ tìm được công thức tổng quát và lim 




#693111 Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018

Gửi bởi yeutoan2001 trong 15-09-2017 - 22:34

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

           Câu 2 hình: đề nên sữa lại thành 

                 a: $AB,DC,EF$ đồng qui

                 b: $P,Q,E,F$ thẳng hành
Câu 3: a/  Thay: $x=0 => P(0)=0$
                Thay $x=3 => P(2)=0$

                       $=> P(x)=x(x-2)Q(x)$

 Thế vào trên được $Q(x)=Q(x-1) => Q(x)=C: const $

 Hay $P(x)=Cx(x-2)$




#691886 Đề kiểm tra kiến thức hè THPT chuyên LHP Nam Định (môn toán chuyên)

Gửi bởi yeutoan2001 trong 30-08-2017 - 20:19

Câu 2:

   Đặt ẩn phụ x,y,z dễ dàng có điều sau:

         $x+y+z=5$

         $xyz=1$          

Trong x,y,z cũng có số bé hơn 4 chọn đó là z  

Ta cần CM:

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=$(5-z)z+\frac{1}{z}\geq \frac{17}{4}$

   $\Leftrightarrow (2z-1)^2(4-z)\geq 0$ (đúng) 




#685296 Bài toán bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển tỉnh BR-VT năm 2015.

Gửi bởi yeutoan2001 trong 21-06-2017 - 20:35

Cho $a, b, c\in \mathbb{R}$ thỏa $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $M=\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$

          Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhỏ sau:

                 $(x-1)^{4}(23x^2-16x+23)\geq$ 0

   <=>   $(3x^2-3x+3)^{3}\geq 4x^6+4$

   <=> $\sqrt[3]{4x^6+4}+4x\leq 3x^2+3$

Thay x=$\frac{a}{b}$

Ta được $\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}+2ab\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$

Cộng tương tự lại => ĐPCM




#685103 CMR: $(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 20-06-2017 - 08:30

Chiều 1:

$(2m+3)^{n}+1\vdots 3$  

 Dễ dàng => m chia 3 dư 1 và n phải lẻ

 Đồng thời có $3^{n}+1\vdots 2m$ 

      => v2($3^{n}+1$)$\geq$ 1+v2(m)

    => đặt m=$2^{x}.\prod pi^{ni}$   (pi lẻ)

         =>  $(\frac{-3}{pi})=1$ vì n+1 chẵn nên dùng thặng dư bình phương

      => $\prod pi^{ni}\equiv 1(mod 6)$ 

         mà m chia 3 dư 1 và x$\leq$1 => x=0 => v2(m)=0

 Lại có $\frac{3^{n}+1}{2m}$ nguyên mà

            v2($3^{n}+1$)-v2(m)=1

=> $\frac{3^{n}+1}{2m}$ chia hết cho 2 => đpcm;

Chiều 2: $3^{n}+1\vdots 4$ => n lẻ

    Ta có:  v2(3n+1)$\geq$ v2(4m) => v2(m)=0

        Đặt m=$\prod pi^{ni}$ (pi nguyên tố lẻ) Tươgn tự trên => m=6k+1=3h+1

                    Ta cần c/m:  $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

                           Mà có:   $(2m)^{n-1}\equiv 1 (mod3)$ 

                                Đặt  $\frac{3^{n}+1}{2m}=k$

                                      =>$3^{n}+1=2m.k=(6h+2).k$ Dễ thấy k$k\equiv 2(m0d3)$

                         Dễ dàng => $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$

 

Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng: 

$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$




#676658 maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 08-04-2017 - 21:17

cho a+b+c=1.a,b,c dương:

tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$

 

Nhân 1=a+b+c vào Ta cần Chứng minh Bất đẳng thức sau:

    $\sum \frac{4(a+b+c)}{a+b}-\sum \frac{a+b+c}{a}\leq 9$

Điều này tương đương với

   $\sum \frac{b+c}{a}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$

 ĐIều này đúng vì ta có bất đẳng thức sau và tương tự 

       $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4c}{a+b}$




#676164 CMR:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 04-04-2017 - 10:59

3=\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=a+b+c

Tìm được Max của ab+bc+ac 

  => VT>=42>=VP




#675908 $n^p-p$ không chia hết cho q

Gửi bởi yeutoan2001 trong 01-04-2017 - 20:05

Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố q sao cho với mọi n nguyên dương, 

   $n^p-p$ không chia hết cho q




#675131 CHo Tam giác ABC có ba đường cao AH,CM,BN Lấy F thuộc CM sao cho

Gửi bởi yeutoan2001 trong 23-03-2017 - 16:16

CHo Tam giác ABC có ba đường cao AH,CM,BN Lấy F thuộc CM sao cho AFB=90, Và D thuộc BN sao cho ADC=90 F,D nằm trong tam giác ABC. Trực tâm tam giác ABC là K

   P thuộc BC sao cho BF,CD,PK đồng qui 

 CMR:   DFPH nội tiếp

    




#675086 x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 23-03-2017 - 00:08

Kỹ thuật này dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Đầu tiên dùng bất đẳng thức AM-GM hoặc AM-GM suy rộng ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z$ và bài toán quy về chứng minh

\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz \geqslant 0.\]

Vì vế trái là một đa thức bậc $3$ không hoán vị cũng không đối xứng nên nếu biểu diễn được dưới dạng sos thì nó có thể có dạng

\[\begin{aligned}(3x^2+4y^2&+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz =  \\&= (m_1x+m_2y+m_3z)(x-y)^2 + (m_4x+m_5y+m_6z)(y-z)^2 + (m_7x+m_8y+m_9z)(z-x)^2.\end{aligned}\]

Đồng nhất hệ số hai vế giải hệ phương trình tìm nghiệm $m_i \geqslant 0,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,9.$ Chú ý rằng hệ phương trình thu được là hệ phương trình tuyến tính và có thể có nhiều nghiệm nên phân tích trên không phải là duy nhất.

 

Có thể xem thêm ở đây.

   Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản

 

x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$

  2xyz=$3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^10}$ 

Suy ra $x^{3}y^{2}z\geq 6^6$

Mà: P=3x+2y+z$\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$




#674580 ​$1+2^x +2^{2x+1}=y^2$

Gửi bởi yeutoan2001 trong 17-03-2017 - 21:50

Đặt y-1=2k 

 

Bài toán tương đương:

     $2^{x-2}(2^x+1)=k(k+1)$

 Vì (k,k+1)=1 Nên xét 2 TH sau:

  TH1:  $k=2^{x-2}t$

      => $2^x+1=t(2^{x-2}t+1)$

                 Dễ thấy t>=2 thì VP>VT

                       Và t=1 thì Vô nghiệm

  TH2: $k+1=2^{x-2}t$

    => $2^{x-2}.t^2=2^x+1+t$

  <=> $2^{x-3}t^{2}+2t^{2}>2^{x-3}.8+t+1$ 

           (đúng trong TH t>=3)

Vậy xét TH t=1;t=2 => x

 




#674083 $\sum \frac{1}{1+a^2b^2}\geq \fr...

Gửi bởi yeutoan2001 trong 12-03-2017 - 16:38

Cho các số thực dương a,b,c TM:

        $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: 

     $\sum \frac{1}{1+a^2b^2}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$