imadaydreamer

 

Gọi độ dài ba cạnh tam giác ABCABC là a,b,ca,b,c. Ta có p=a+b+c2p=a+b+c2. Gọi rr là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.

Theo định lý Pythagores thìAI=√r2+(b+c−a2)2,IB=√r2+(a+c−b2)2,IC=√r2+(a+b−c2)2.AI=r2+(b+c−a2)2,IB=r2+(a+c−b2)2,IC=r2+(a+b−c2)2.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có(1+3)[r2+(a+b−c2)2]≥(r+(a+b−c)⋅√32)2⇒2CI≥r+(a+b−c)⋅√32.(1+3)[r2+(a+b−c2)2]≥(r+(a+b−c)⋅32)2⇒2CI≥r+(a+b−c)⋅32.

Chứng minh tương tự ta được 2(AI+BI+CI)≥3r+√3(a+b+c)22(AI+BI+CI)≥3r+3(a+b+c)2.

Mặt khác r⋅p=Sr⋅p=S nên r=Spr=Sp suy ra 6Sp=6r6Sp=6r. Ta cần chứng minh

√3(a+b+c)≥18r⇔(a+c+b)2≥12√3S⇔(a+b+c)2≥3√3(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)⇔(a+b+c)3≥27(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)3(a+b+c)≥18r⇔(a+c+b)2≥123S⇔(a+b+c)2≥33(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)⇔(a+b+c)3≥27(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)

Dễ chứng minh được rằng (a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc≤(a+b+c)327(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc≤(a+b+c)327 nên √3(a+b+c)2≥9r3(a+b+c)2≥9r suy ra IA+IB+IC≥6r=6SpIA+IB+IC≥6r=6Sp.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi △ABC△ABC đều.

Nguồn : Zaraki

 

◼

 

 

 

cảm ơn bạn