OldMemories

Cho a, b ,c là các số thực . Chứng minh rằng 

$(\frac{a^{2}}{b-c})^{2}+ (\frac{b^{2}}{c-a})^{2} + (\frac{c^{2}}{a-b})^{2}\geq 2.$

$1$ . Cho $n \in \mathbb{N}*$ và $S = \left \{ 1,2,....,n \right \}$ . Gọi $c_{n}$ là số các tập con của S chỉ chứa đúng 2 số nguyên dương liên tiếp . Chứng minh rằng : $c_{n}= \frac{2nF_{n+1}-(n+1)F_{n}}{5}$ với $F_{n}$ là số Fibonacci thứ n

$2$ . Cho 2000 học sinh tham gia 1 cuộc thi trắc nghiệm gồm 5 câu hỏi , mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời , mỗi học sinh chỉ được chọn 1 trong 4 phương án . Tìm $n \in N$ bé nhất sao cho các học sinh có thể làm bài thi theo cách nào đó mà cứ n học sinh thì luôn tìm được 4 học sinh để 2 học sinh bất kì cũng có bài làm khác nhau ở ít nhất 2 câu

Cho p là số nguyên tố , a là số nguyên dương với a , p nguyên tố cùng nhau , x nguyên dương bất kì . Chứng minh

 $a^{p^{x}(p-1)} \equiv 1 \left ( mod p^{x+1} \right )$

$1$ . Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn chọn được 6 số , gọi là $a_{1}, a_{2},.....,a_{6}$ sao cho tích $P \doteq (a_{1}-a_{2})(a_{3}-a_{4})(a_{5}+ a_{6})$ chia hết cho $1800$

$2$. Có 2002 quả bóng được đánh số thứ tự từ 1 đến 2002 thuộc 6 màu : xanh , đỏ , tím , vàng , trắng , đen ( mỗi quả  1 màu ) . Chứng minh rằng có ít nhất 1 quả bóng mà số thứ tự của nó bằng tổng số thứ tự của 2 quả bóng cùng màu , hoặc gấp đôi số thứ tự 1 quả bóng cùng màu khác

Cho a, b ,c dương thỏa mãn $ab + bc + ca =1$ . Tìm max

  $\frac{2(ab+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)} + \frac{c}{c^{2}+1}$