phoenix115

đề của bạn sao lạ vậy,chỗ thiếu chỗ thừa!!!~

Bài 1 nếu có điều kiện thì làm được chứ không có thì không rồi bạn ơi   

Mình chỉnh lại đề rồi đấy! Mong các bạn thông cảm giải giùm mình nhé

Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab}$, cố định $k$ và trong các cặp $(a,b)$ nguyên dương thỏa mãn $k$ nguyên, chọn ra cặp $(a_0,b_0)$ thỏa mãn $a_0+b_0$ nhỏ nhất và $a_0 \geq b_0.$

Xét phương trình bậc $2$ ẩn $x:$    $x^2-kb_0x+b_0^2=0.$

Dễ thấy phương tình này có $1$ nghiệm là $a_0,$ gọi nghiệm còn lại là $t$ thì theo định lí $Viete,$ ta có: $\left\{\begin{matrix} t+a_0=kb_0 \;\;\ (1) \\ ta_0=b_0^2 \end{matrix}\right.$

Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ Từ $(1)$ suy ra $kb_0\geq a_0+a_0=2a_0\Rightarrow \frac{a_0}{b_0}\leq \frac{k}{2}$

Như vậy: $k=\frac{a_0}{b_0}+\frac{b_0}{a_0}\leq \frac{k}{2}+1\Rightarrow k\leq 2$

Do đó, $k\in \left \{ 1;2 \right \}.$ mà $a^2+b^2\geq 2ab>ab$ nên $k>1.$ Từ đó $k=2$ suy ra $a=b.$ rồi tính được $A=1$

Vậy $A=1$

Bạn giải thích chỗ này được ko.  Do tính nhỏ nhất của $a_0+b_0$ nên $t \geq a_0.$ 

Bạn giả sử $a_0 \geq b_0.$.  Theo mình thấy thì:

$a^2_0\geq b^2_0=t.a_0$

$\Rightarrow a_0\geq t$

Lời giải.

Ta sẽ chứng minh $S_{MEF}\leq \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Thật vậy, hạ $MH$ vuông góc với $AB$ và trên $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $MD$ vuông góc với $MF$.

Mặt khác vì $MA$ vuông góc với $MB$ nên $\widehat{AMF}=\widehat{BMD}$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $MA=MB$ và $\widehat{MBD}=\widehat{MAF}=45^{\circ}$

Từ các điều trên suy ra hai tam giác $AMF$ và $BMD$ bằng nhau, suy ra $AF=BD$ và $MD=MF$.

Mặt khác $\widehat{EMF}=45^{\circ}$ mà $\widehat{DMF}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=45^{\circ}$

Suy ra hai tam giác $EMF$ và $DME$ bằng nhau nên $DE=DF$.

Ta có $AB=AE+BD+DE=AE+AF+DE>EF+DE=2DE\Leftrightarrow DE<\frac{AB}{2}\Leftrightarrow MH.\frac{DE}{2}<MH.\frac{AB}{4}\Leftrightarrow S_{EMF}=S_{DME}\leq \frac{S_{AMB}}{2}=\frac{S_{ABC}}{4}$

 

$\LaTeX$ diễn đàn bị sao mà mấy nay mình gõ công thức không hiện, bạn chịu khó mở bảng công thức lên xem nhé.

Đề yêu cầu xác định vị trí điểm $E$ và $F$ sao cho diện tích tam giác $MEF$ lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo $a$ chứ không phải: "CMR $S_{MEF}\leq\frac{S_{ABC}}{4}$." Bạn chịu khó giải chi tiết giúp mình nhé! (Mình đã giải tới chỗ bạn làm rồi!)