thinhtrantoan

Phương trình đã cho tương đương với:

  $x^{2}(y^{2}-1)-xy-2y^{2}=0$ $(1)$

Xét $y^{2}=1$. Suy ra $x=-2$ hoặc $x=2$.

Xét $y^{2}\not= 1$. Coi pt $(1)$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ khi đó $\Delta _{x}=y^{2}+8y^{2}(y^{2}-1)$.

$(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta _{x}=y^{2}+8y^{2}(y^{2}-1)$ là số chính phương.

 TH1 $y=0$ suy ra .....

 TH2 $y\not= 0$ $\Delta_{x}=y^{2}(8y^{2}-7)$ là số chính phương khi $8y^{2}-7=a^{2}$ với $a\in \mathbb{Z}$ 

Nhận thấy phương trình $8y^{2}-7=a^{2}$ có nghiệm tự nhiên là $(1;1)$ và do pt là phương trình $Pell$ dạng tổng quát nên pt có vô số nghiệm hay có vô số nghiệm nguyên $(x;y)$

 

 

P/s: mai đăng công thức nghiệm nka h buồn ngủ wa.

Như vậy là phương trình đã cho sẽ có vô số nghiệm??

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ ( có thể chứng minh bằng AM-GM hoặc biến đổi tương đương)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y$ từ đây thế vào phương trình $(2)$

p/s khả năng đề sai phải là $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+xy}}$ chứ

Nhưng mình thấy nó không quen thuộc lắm. Bạn cm giúp mk đc ko?

Ta có $\Leftrightarrow x(x^2-4)=y(y^2-4)=y.5x^2\Leftrightarrow x(x^2-4-5xy)=0$

Nếu x=0 thì ta tìm được y=2 hoặc y=-2

Nếu x khác 0 thì $\left\{\begin{matrix} x^2-4=5xy & & \\ y^2-4=5x^2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2-y^2=5x(y-x)\Leftrightarrow (x-y)(y+6x)$

Đén đây xét thêm 2 TH nữa là giải được hệ

Cơ mà đề bài của mình là 16x chứ có phải 4x đâu

Em mới học lớp 9 nên ko thể hiểu cách này, mọi người giúp cách khác đc ko ạ

 

 

  $\sum {\frac{a}{{3a + b + c}}}  \leqslant \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sum {\frac{{3a}}{{3a + b + c}} \leqslant \frac{9}{5} \Leftrightarrow \sum {1 - \frac{{b + c}}{{3a + b + c}} \leqslant } } \frac{9}{5} $

  $BDT \Leftrightarrow \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} \geqslant } \frac{6}{5} $

 $ \sum {\frac{{(b + c)}}{{3a + b + c}} = \sum {\frac{{{{(b + c)}^2}}}{{(b + c)(3a + b + c)}} \geqslant \frac{{4{{(a + b + c)}^2}}}{{\sum {{{(b + c)}^2} + \sum {3a(b + c)} } }}} }  $

  $BDT \Leftrightarrow 20{(a + b + c)^2} \geqslant 6\sum {{{(b + c)}^2} + 18\sum {a(b + c)} } $

   $\Leftrightarrow {a^2} - a(b + c) + {b^2} - bc + {c^2} \geqslant 0 $

  ${\Delta _a} =  - 3{(b - c)^2} \leqslant 0 $

  mà $a > 0 $

   $\to f(a) \geqslant 0(dpcm) $(định lý về dấu của tam thức bậc 2)

 

e không hiểu chỗ này lắm