Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Jinbei

Đăng ký: 20-07-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#680228 Chứng minh $a(n)=b(n+2)$

Gửi bởi Jinbei trong 10-05-2017 - 22:17

Bài toán. 

     Gọi $a(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số $1$ và $2$.

Ví dụ : $5=1+1+1+1+1=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+2+1=1+1+1+2=2+2+1=2+1+2=1+2+2$ nên $a(5)=8$

 

     Gọi $b(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số nguyên lớn hơn 1 (bao gồm cả cách biểu diễn là chính số đó).

Ví dụ : $7=3+2+2=2+3+2=2+2+3=3+4=4+3=2+5=5+2$ nên $b(7)=8$

 

Chứng minh rằng : $a(n)=b(n+2)$ với mọi số nguyên dương $n$




#668430 Tìm các số nguyên dương p,q,r: $pqr - 1 \vdots \left( {p...

Gửi bởi Jinbei trong 15-01-2017 - 15:50

http://diendantoanho...-dương-a-b-c-1/




#668428 $\left ( x+2 \right )\left ( \sqrt{2x+3}-2...

Gửi bởi Jinbei trong 15-01-2017 - 15:44

Điều kiện : $x\geq -1$.

Đặt : $a=\sqrt{2x+3}; b=\sqrt{x+1}$. Ta có : $\left\{\begin{matrix} a;b\leq 0\\a^{2}-b^{2}=x+2 \\ ab=\sqrt{2x^{2}+5x+3} \\ a^{2}-2b^{2}=1 \end{matrix}\right.$.

Do đó : 

$BPT\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-2b)+ab-(a^{2}-2b^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-2b)-(a-b)(a+2b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}-ab-2b^{2}-a-2b)\geq 0$

Đến đây đơn giản hơn rồi !




#668419 Topic ôn thi hình học vào cấp 3 chuyên

Gửi bởi Jinbei trong 15-01-2017 - 15:12

Li gii bài 3 : 

 

 

1) . Gọi $G, H$ lần lượt là giao điểm $LM, KM$ với $DK, LD$ . $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ $\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$ $\Rightarrow AM$ vuông góc $EF$.

 

. Có : $\widehat{MFG}=\widehat{DEC}=\widehat{AEK}$ (cùng chắn cung $DE$). $\widehat{AME}=\widehat{AKE}=90^{O}\Rightarrow AKEM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KME}=\widehat{EAK}$, do đó $\widehat{MFG}+\widehat{FMG}=\widehat{AEK}+\widehat{EAG}=90^{O}\Rightarrow \widehat{FGM}=90^{O}\Rightarrow KG$ vuông góc $LD$.

 

. Tương tự : $LH$ vuông góc $DK$. Suy ra $M$ là trưc tâm $\Delta DLK$.

 

 

2) . Gọi $T;T'$ lần lượt là giao điểm của $FP;QE$ với $(I)$

 

. Dễ thấy $\Delta AQF$ cân tại $A$, $\Delta BFD$ cân tại $B$ $\Rightarrow \frac{180^{O} - \widehat{QAF}}{2}=\widehat{QFA}=\widehat{BFD}=\frac{180^{O} - \widehat{FBD}}{2}\Rightarrow \widehat{QAF}=\widehat{FBD}$, so le trong $\Rightarrow AQ$ song song $BC$. Tương tự $AP$ song song $BC$ $\Rightarrow Q, A, P$ thẳng hàng (theo tiên đề $Euclid$).

 

. Theo câu 1) thì $\widehat{EFD}=\widehat{AEP}$, mà $\widehat{AEP}=\widehat{APE}$ ($\Delta APE$ cân tại $A$) nên $\widehat{EFD}=\widehat{QPE}\Rightarrow QPEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{PQE}$ $(1)$.   

 

$AQ=AE(=AF)\Rightarrow \Delta AQE$ cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{AQE} = \widehat{AEQ}$ $(2)$.

 

. Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{AEQ}\Rightarrow \widehat{TFE}=\widehat{AET'}\Rightarrow T$ trùng $T'$. Suy ra đpcm.

Hình gửi kèm

  • 1.png



#666721 Cho p và p^2+2 là các số nguyên tố

Gửi bởi Jinbei trong 02-01-2017 - 22:03

Mình đâu cần phải xét cả dấu trừ mà bạn. Đầu tiên ta xét các số 0;1;2;3 hoặc có thể là nhiều hơn cho đến khi nào tìm được số thỏa mãn điều kiện của bài cho. Ở bài toán này ta chỉ cần xét đến 3, mà số dư của 3 có 3 dạng là 0;1;2 nên ta có 3k;3k+1;3k+2 sau đó bạn xét là ra thôi mà.

 Cảm ơn bn góp ý. Mình đã fix lại .




#666644 Cho p và p^2+2 là các số nguyên tố

Gửi bởi Jinbei trong 02-01-2017 - 15:37

Xét $p=2\Rightarrow p^{2}+2=2^{2}+2=6$ (loại).

Xét $p=3\Rightarrow p^{2}+2=3^{2}+2=11$ (nhận). 

Xét $p>3$ , do $p$ là số nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$.

    +) $p=3k+ 1\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 2k+1)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố.

    +) $p=3k+ 2\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 4k+2)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố. 

Khi đó : $p^{3}+2=3^{3}+2=29$ là số nguyên tố.

Ta có $đpcm$




#659659 Đề thi học sinh giỏi 9

Gửi bởi Jinbei trong 27-10-2016 - 23:51

Câu 2c)

$HPT\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}(x−y)=45\\(x−y)(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x−y)^{2}+4xy](x−y)=45\\ [(x−y)^{2}+2xy](x−y)=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{3}+4xy(x−y)=45\\ (x−y)^{3}+2xy(x−y)=85 \end{matrix}\right.$

Đặt : $a=x−y;b=xy$. Ta có : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+4ab=45\\ a^{3}+2ab=85 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\a^{3}=85−2ab \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\ a^{3}=85+40 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=−20\\a^{3}=125 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\b=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x−y=5\\xy=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{2}+4xy=5^{2}−4.4\\x−y=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=9\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=−3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x+y=3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\y=−4 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=−1 \end{matrix}\right.$




#659657 Đề thi học sinh giỏi 9

Gửi bởi Jinbei trong 27-10-2016 - 23:32

Câu 2b) :

Do $\left | 2x−7 \right |< x^{2}+2x+2$ mà $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1> 0$ nên : 

$−(x^{2}+2x+2)< 2x−7 < x^{2}+2x+2$

* $−(x^{2}+2x+2)< 2x−7\Leftrightarrow x^{2}+4x−5>0\Leftrightarrow (x−1)(x+5)>0\Leftrightarrow x<−5 \vee x>1$

$2x−7 < x^{2}+2x+2\Leftrightarrow x^{2}+9>0 (\forall x)$

Vậy $x< −5 \vee x>1$




#659656 Đề thi học sinh giỏi 9

Gửi bởi Jinbei trong 27-10-2016 - 23:21

Câu 2a) : 

Điều kiện : $x\leq 2−2\sqrt{3} \vee 2+2\sqrt{3} \leq x$

Ta có : 

$PT\Leftrightarrow 2(x^{2}−4x−8)−3\sqrt{x^{2}−4x−8}−2=0$       $(*)$

Đặt $a=\sqrt{x^{2}−4x−8}\Rightarrow a\geq 0$

$(*)\Leftrightarrow 2a^{2}−3a−2=0 \Leftrightarrow a=2 (n) \vee a=\frac{−1}{2} (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}−4x−8}=2$

$\Leftrightarrow x^{2}−4x−12=0\Leftrightarrow x=6\vee x=−2 (n)$




#652048 Giải hệ : $a+b^{2}+c^{3}=14$

Gửi bởi Jinbei trong 30-08-2016 - 23:27

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b^{2}+c^{3}=14\\ (\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{6c})(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{6})=1 \end{matrix}\right.$

 

 




#651562 $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14...

Gửi bởi Jinbei trong 27-08-2016 - 23:04

Giải hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7 \end{matrix}\right.$




#651143 $BF\bot CM$

Gửi bởi Jinbei trong 24-08-2016 - 22:23

Hinh như đề sai đó bạn !!!




#648731 Sự khác nhau giữa $a$ $max$ và $max$ $a$

Gửi bởi Jinbei trong 09-08-2016 - 13:42

$a_{max}$ : $a$ đạt giá trị lớn nhất.

$maxa$ : giá trị lớn nhất của $a$




#646682 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Gửi bởi Jinbei trong 27-07-2016 - 10:59

Lời giải câu a) : (Hình bạn tự vẽ)

 

Đặt $AN = x$. $\Delta ANC$ là nửa tam giác đều nên $NC=x\sqrt{3}$. $\Delta ABN$ vuông tại N nên $BN=AN.cotB=x.cot38^{O}$. 

Do đó : $BC=BN+NC\Rightarrow 11=x(\sqrt{3}+cot38^{O})\Rightarrow AN=\frac{11}{\sqrt{3}+cot38^{O}}$ $\Rightarrow AC=2AN = \frac{22}{\sqrt{3}+cot38^{O}}$

 

Lời giải câu b) : (Hình bạn tự vẽ)

 

Áp dụng công thức tính diện tích : $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA$.

Có : $S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{AOB}+S_{BOC}+S_{DOC}$ $=\frac{1}{2}.sin70^{O}.(AO.OD+AO.BO+BO.OC+OC.OD)$ $=\frac{1}{2}.sin70^{O}.AD.BC\Rightarrow S_{ABCD}=10,6.sin70^{O}.$ 




#646506 Cho $P=\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4...

Gửi bởi Jinbei trong 26-07-2016 - 00:15

Đặt : $m=x^{2}; n=y^{2}$.

Bài toán trở thành : Cho $P=\sqrt{m+\sqrt[3]{m^{2}n}}+\sqrt{n+\sqrt[3]{n^{2}m}}$. Chứng minh : $\sqrt[3]{P^{2}}=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$

Có : 

$P^{2}=m+\sqrt[3]{m^{2}n}+n+\sqrt[3]{mn^{2}}+2\sqrt{mn+m\sqrt[3]{m^{2}n}+n\sqrt[3]{n^{2}m}+mn}$

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m^{2}}−\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{n^{2}})+\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})+2\sqrt{2.\sqrt[3]{m^{3}n^{3}}+\sqrt[3]{m^{2}n^{2}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})}}$

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})^{2}+2\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})$  

(do : $\sqrt{\sqrt[3]{m^{2}n^{2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{m^{2}n^{2}}}=\sqrt[3]{mn}$)

$\Rightarrow P^{2}=(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n})^{3}\Rightarrow \sqrt[3]{P^{2}}=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$ (đpcm)