Jinbei

Cho $a, b$ là 2 số nguyên tố $(a\geq b)$. Biết $c$ là số nguyên dương thỏa đẳng thức: $a(a+1) + b(b-1) = c(c+1)$

Tính giá trị biểu thức $A = 3c - 5b$

P/S 1. Đề này mình nhặt được trên FB, không rõ nguồn

P/S 2. Những kết quả đã suy ra được:

Gọi đẳng thức đề cho là $(1)$.

Từ $(1)$, mình biến đổi về 2 đẳng thức khác là:

$a(a+1)=(b+c)(c-b+1)\, \, (1.1)$

$b(b-1)=(c-a)(c+a+1)\, \, (1.2)$

Vì $a$ là số nguyên tố nên từ $(1.1)$, dễ dàng suy ra $(b+c)\vdots a$. Tương tự, ở $(1.2)$ suy ra được $(c+a+1)\vdots b$

Xét từng trường hợp:

Case 1: $UCLN(a,c)=a$. Trường hợp này sai.

Case 2: $UCLN(b,c)=b$. Trường hợp này sai.

Case 3: $UCLN(a,c)=1$ và $UCLN(b,c)=1$. Trường hợp này mình chưa biết khai thác như thế nào (!?).

Bài toán. 

     Gọi $a(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số $1$ và $2$.

Ví dụ : $5=1+1+1+1+1=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+2+1=1+1+1+2=2+2+1=2+1+2=1+2+2$ nên $a(5)=8$

     Gọi $b(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số nguyên lớn hơn 1 (bao gồm cả cách biểu diễn là chính số đó).

Ví dụ : $7=3+2+2=2+3+2=2+2+3=3+4=4+3=2+5=5+2$ nên $b(7)=8$

Chứng minh rằng : $a(n)=b(n+2)$ với mọi số nguyên dương $n$

http://diendantoanho...-dương-a-b-c-1/

Điều kiện : $x\geq -1$.

Đặt : $a=\sqrt{2x+3}; b=\sqrt{x+1}$. Ta có : $\left\{\begin{matrix} a;b\leq 0\\a^{2}-b^{2}=x+2 \\ ab=\sqrt{2x^{2}+5x+3} \\ a^{2}-2b^{2}=1 \end{matrix}\right.$.

Do đó : 

$BPT\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-2b)+ab-(a^{2}-2b^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-2b)-(a-b)(a+2b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}-ab-2b^{2}-a-2b)\geq 0$

Đến đây đơn giản hơn rồi !

Lời giải bài 3 : 

1) . Gọi $G, H$ lần lượt là giao điểm $LM, KM$ với $DK, LD$ . $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ $\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$ $\Rightarrow AM$ vuông góc $EF$.

. Có : $\widehat{MFG}=\widehat{DEC}=\widehat{AEK}$ (cùng chắn cung $DE$). $\widehat{AME}=\widehat{AKE}=90^{O}\Rightarrow AKEM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KME}=\widehat{EAK}$, do đó $\widehat{MFG}+\widehat{FMG}=\widehat{AEK}+\widehat{EAG}=90^{O}\Rightarrow \widehat{FGM}=90^{O}\Rightarrow KG$ vuông góc $LD$.

. Tương tự : $LH$ vuông góc $DK$. Suy ra $M$ là trưc tâm $\Delta DLK$.

2) . Gọi $T;T'$ lần lượt là giao điểm của $FP;QE$ với $(I)$. 

. Dễ thấy $\Delta AQF$ cân tại $A$, $\Delta BFD$ cân tại $B$ $\Rightarrow \frac{180^{O} - \widehat{QAF}}{2}=\widehat{QFA}=\widehat{BFD}=\frac{180^{O} - \widehat{FBD}}{2}\Rightarrow \widehat{QAF}=\widehat{FBD}$, so le trong $\Rightarrow AQ$ song song $BC$. Tương tự $AP$ song song $BC$ $\Rightarrow Q, A, P$ thẳng hàng (theo tiên đề $Euclid$).

. Theo câu 1) thì $\widehat{EFD}=\widehat{AEP}$, mà $\widehat{AEP}=\widehat{APE}$ ($\Delta APE$ cân tại $A$) nên $\widehat{EFD}=\widehat{QPE}\Rightarrow QPEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{PQE}$ $(1)$.   

. $AQ=AE(=AF)\Rightarrow \Delta AQE$ cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{AQE} = \widehat{AEQ}$ $(2)$.

. Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{AEQ}\Rightarrow \widehat{TFE}=\widehat{AET'}\Rightarrow T$ trùng $T'$. Suy ra đpcm.

Mình đâu cần phải xét cả dấu trừ mà bạn. Đầu tiên ta xét các số 0;1;2;3 hoặc có thể là nhiều hơn cho đến khi nào tìm được số thỏa mãn điều kiện của bài cho. Ở bài toán này ta chỉ cần xét đến 3, mà số dư của 3 có 3 dạng là 0;1;2 nên ta có 3k;3k+1;3k+2 sau đó bạn xét là ra thôi mà.

 Cảm ơn bn góp ý. Mình đã fix lại .

Xét $p=2\Rightarrow p^{2}+2=2^{2}+2=6$ (loại).

Xét $p=3\Rightarrow p^{2}+2=3^{2}+2=11$ (nhận). 

Xét $p>3$ , do $p$ là số nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$.

    +) $p=3k+ 1\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 2k+1)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố.

    +) $p=3k+ 2\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 4k+2)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố. 

Khi đó : $p^{3}+2=3^{3}+2=29$ là số nguyên tố.

Ta có $đpcm$

Câu 2c)

$HPT\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}(x−y)=45\\(x−y)(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x−y)^{2}+4xy](x−y)=45\\ [(x−y)^{2}+2xy](x−y)=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{3}+4xy(x−y)=45\\ (x−y)^{3}+2xy(x−y)=85 \end{matrix}\right.$

Đặt : $a=x−y;b=xy$. Ta có : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+4ab=45\\ a^{3}+2ab=85 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\a^{3}=85−2ab \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\ a^{3}=85+40 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=−20\\a^{3}=125 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\b=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x−y=5\\xy=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{2}+4xy=5^{2}−4.4\\x−y=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=9\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=−3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x+y=3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\y=−4 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=−1 \end{matrix}\right.$

Câu 2b) :

Do $\left | 2x−7 \right |< x^{2}+2x+2$ mà $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1> 0$ nên : 

$−(x^{2}+2x+2)< 2x−7 < x^{2}+2x+2$

* $−(x^{2}+2x+2)< 2x−7\Leftrightarrow x^{2}+4x−5>0\Leftrightarrow (x−1)(x+5)>0\Leftrightarrow x<−5 \vee x>1$

* $2x−7 < x^{2}+2x+2\Leftrightarrow x^{2}+9>0 (\forall x)$

Vậy $x< −5 \vee x>1$

Câu 2a) : 

Điều kiện : $x\leq 2−2\sqrt{3} \vee 2+2\sqrt{3} \leq x$

Ta có : 

$PT\Leftrightarrow 2(x^{2}−4x−8)−3\sqrt{x^{2}−4x−8}−2=0$       $(*)$

Đặt $a=\sqrt{x^{2}−4x−8}\Rightarrow a\geq 0$ : 

$(*)\Leftrightarrow 2a^{2}−3a−2=0 \Leftrightarrow a=2 (n) \vee a=\frac{−1}{2} (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}−4x−8}=2$

$\Leftrightarrow x^{2}−4x−12=0\Leftrightarrow x=6\vee x=−2 (n)$

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b^{2}+c^{3}=14\\ (\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{6c})(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{6})=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7 \end{matrix}\right.$

Hinh như đề sai đó bạn !!!

$a_{max}$ : $a$ đạt giá trị lớn nhất.

$maxa$ : giá trị lớn nhất của $a$

Lời giải câu a) : (Hình bạn tự vẽ)

Đặt $AN = x$. $\Delta ANC$ là nửa tam giác đều nên $NC=x\sqrt{3}$. $\Delta ABN$ vuông tại N nên $BN=AN.cotB=x.cot38^{O}$. 

Do đó : $BC=BN+NC\Rightarrow 11=x(\sqrt{3}+cot38^{O})\Rightarrow AN=\frac{11}{\sqrt{3}+cot38^{O}}$ $\Rightarrow AC=2AN = \frac{22}{\sqrt{3}+cot38^{O}}$

Lời giải câu b) : (Hình bạn tự vẽ)

Áp dụng công thức tính diện tích : $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA$.

Có : $S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{AOB}+S_{BOC}+S_{DOC}$ $=\frac{1}{2}.sin70^{O}.(AO.OD+AO.BO+BO.OC+OC.OD)$ $=\frac{1}{2}.sin70^{O}.AD.BC\Rightarrow S_{ABCD}=10,6.sin70^{O}.$