dinhtrongnhan

thay vào pt ban đầu ?? a làm rõ đi ạ 

Ta có $f(x)=x+f(0)$

pt đầu tở thành $xy+f(0)+x-y+f(0)+x+y+1+f(0)=xy+2x+1$$\Leftrightarrow$$3f(0)=0$$\Leftrightarrow$$f(0)=0$

Tìm tất cả hàm $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f(x+f(y))=8x+9y+2016$

$f(x+f(y))=8x+9y+2016$ (1)

Thay y bởi 0 (1) trở thành $f(x+f(0))=8x+2016$ (2)

Thay x bởi x-f(0) (2) trở thành $f(x)=8x-8f(0)+2016$ (3)

Thay x bởi 0 (3) trở thành $f(0)=-8f(0)+2016$$\Leftrightarrow$$f(0)=224$

Thay vào 3 ta được $f(x)=8x+224$

Thử lại vào (1) ta có 8(x+8y+224)+224=8x+9y+2016$\Leftrightarrow$y=0$\forall y$$\in$R

Vậy không tồn tại hàm số nào thỏa (1)

 

Một ông bố trước khi mất để lại di chúc chia tài sản cho các con theo thứ tự như sau:

- Người con thứ nhất lấy 1000 đô la, rồi sau đó thêm 1/10 số tiền còn lại

- Người con thứ hai lấy 2000 đô la, rồi sau đó thêm 1/10 số tiền còn lại

- Người con thứ ba lấy 3000 đô la, rồi sau đó thêm 1/10 số tiền còn lại

- ...

Cứ tiếp tục chia như vậy cho tất cả các con và cuối cùng thì số tiền ông bố có được cũng vừa hết và lạ thay số tiền các con nhận được đều bằng nhau.

Hỏi ông bố đó có bao nhiêu người con?

 

Gọi n là số người con ông bố đó có

Gọi A là số tiền còn lại sau khi người con thứ n-1 lấy 1000(n-1) đô la

Vậy số tiền người con thứ n-1 lấy là 1000(n-1)+$\frac{A}{10}$ đô la và người con thứ n lấy 1000n hay là $\{9A}{10}$ đô la

Ta có số tiền các người con có bằng nhau nên ta có 1000(n-1)+$\frac{A}{10}$=1000n$\Leftrightarrow$$\frac{A}{10}$=1000$\Leftrightarrow$A=10000

$\Rightarrow$1000n=9000$\Leftrightarrow$n=9

Vậy ông bố đó có 9 người con

4)x+$\sqrt{5+\sqrt{x-1}}$=6 (Đk:x$\geq$1)

$\Leftrightarrow$x-1+$\sqrt{5+\sqrt{x-1}}$=5 (1)

Đặt t=$\sqrt{x-1}$$\geq$0

(1)$\Leftrightarrow$$t^{2}+\sqrt{5+t}=5$

Đặt y=$\sqrt{5+t}$$\geq$0

Ta có hpt

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=5+t\\t^{2}=5-y \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$$(y-t)(y+t)=y+t$

...

Cho n số thực không âm $ x_i, i=1,2,...,n $ sao cho tổng của chúng bằng 1 chứng minh rằng:

$ \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n}) < \frac{x_1^{2}}{1+x_1^{2}}+\frac{x_2^{2}}{1+x_2^{2}}+...\frac{x_n^{2}}{1+x_n^{2}} $

Ta có các số $x_{i}$ không âm có tổng bằng 1 nên $x_{i}$$\leq$1 $\Rightarrow$$x_{i}^{2}$$\leq$$x_{i}$$\Rightarrow$$\frac{x_i}{1+x_i^{2}}$$\geq$$\frac{x_i}{1+x_i}$ (1)

Giả sử ta có $x_{1}$,$x_{2}$,...,$x_{n}$ là dãy tăng $\Rightarrow$$\frac{x_1}{1+x_1}$,$frac{x_2}{1+x_2},...,$\frac{x_n}{1+x_n}$ cũng là dãy tãng

Từ (1) và BĐT Chebyshev ta có

$\frac{x_1^{2}}{1+x_1^{2}}+\frac{x_2^{2}}{1+x_2^{2}}+...+\frac{x_n^{2}}{1+x_n^{2}}$$\geq$$\frac{x_1}{1+x_1}.x_1+\frac{x_2}{1+x_2}.x_2+...+\frac{x_n}{1+x_n}.x_n$$\geq$$ \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n})(x_1+x_2+...+x_n)= \frac{1}{n}(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}+...+\frac{x_n}{1+x_n})$

Dấu bàng xảy ra $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+...+x_n=1\\x_1=x_2=...=x_n=1 \end{matrix}\right.$ (vô lí)

Vậy dấu bằng không xảy ra$\Rightarrow$đpcm