dinhtrongnhan

4)x+$\sqrt{5+\sqrt{x-1}}$=6 (Đk:x$\geq$1)

$\Leftrightarrow$x-1+$\sqrt{5+\sqrt{x-1}}$=5 (1)

Đặt t=$\sqrt{x-1}$$\geq$0

(1)$\Leftrightarrow$$t^{2}+\sqrt{5+t}=5$

Đặt y=$\sqrt{5+t}$$\geq$0

Ta có hpt

$\left\{\begin{matrix} y^{2}=5+t\\t^{2}=5-y \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$$(y-t)(y+t)=y+t$

...

2. Cho hình chóp SABCD đáy là hbh, M thuộc BC. ($\alpha$) qua M//(SAB)

a. Tìm giao tuyến của ($\alpha$) vs (ABCD), (SAD), (SBC)

b. Xd thiết diện của ($\alpha$) vs hình chóp

Qua M vẽ ME//SB (E$\in$SC) và MF//AB (F$\in$AD)

$\Rightarrow$(MEF)$\equiv$($\alpha$) và ME$\in$(SBC), MF$\in$(ABCD)

$\Rightarrow$giao tuyến của ($\alpha$) và (SBC) là ME, của ($\alpha$) và (ABCD) là MF

Qua F vẽ FG//SA (G$\in$SD)

$\Rightarrow$(FMEG)$\equiv$($\alpha$) và EG$\in$(SDC) $\Rightarrow$giao tuyến của ($\alpha$) và (SAD) là FG, của ($\alpha$) và (SDC) là GE

Vậy thiết diện của ($\alpha) và hình chóp là tứ giác MEGF

$PT\Leftrightarrow (x^{2}-y)(x^{2}+y)=(y^{2}+1)(y^{2}+1)$ Mà $x,y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}-y=y^{2}+1\\ x^{2}+y=y^{2}+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-y=x^{2}+y\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=\pm 1$

Như thế được ko nhỉ vì $x^{2}-y,x^{2}+y,y^{2}+1$ có thể có các ước nên chưa chắc là $x^{2}-y=x^{2}+y=y^{2}+1$

 $11x^2-27x+2x\sqrt{4x^2-9x-8}-24=0$

 $11x^2-27x+2x\sqrt{4x^2-9x-8}-24=0$ (ĐK $\sqrt{4x^2-9x-8}$$\geq$

$\Leftrightarrow$$12x^{2}-27x-24+2x\sqrt{4x^{2}-9x-24}-x^{2}=0$

Đặt y=$\sqrt{4x^{2}-9x-8}$

pt$\Leftrightarrow$$3y^{2}+2xy-x^{2}=0$

$\Leftrightarrow$(y+x)(3y-x)=0

Cho 3 đường thẳng $(d1) : y=-3x$ ; $(d2) : y=2x+5$ ; $(d3) : y=x+4$

Cmr $(d1) ; (d2) ; (d3)$ đồng quy tại một điểm.

Pt hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là -3x=2x+5$\Leftrightarrow$x=-1$\Rightarrow$y=3

Ta có 3=-1+4$\Rightarrow$(d1);(d2);(d3) đồng quy tại điểm (-1;3)

Cho tứ diện ABCD có M, N là trung điểm của AB, AD. Lấy I bất kì trên CD. Xác định giao tuyến của:

a. mp(CMN) và mp (ABI)

b. mp(CMN) và mp (BCD)

a)Gọi giao điểm của AI và CN là K

Ta có M$\in$mp(CMN) và M$\in$mp(ABI); K$\in$mp(CMN) và K$\in$mp(ABI)

$\Leftrightarrow$đường thẳng MI là giao tuyến của mp(CMN) và mp(ABI)

b)Ta có MN//BD; C$\in$mp(BCD) và C$\in$mp(CMN)

$\Rightarrow$đường thẳng qua C và song song với BC là giao tuyến của mp(CMN) và mp(BCD)

Cho tứ giác ABCD có M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh 2 tam giác ANP và CMQ có cùng 1 trọng tâm.

Ta có $\vec{AC}+\vec{NM}+\vec{PQ}=\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{0}$

$\Rightarrow$2 tam giác ANP và CMQ có cùng 1 trọng tâm.

Bài 1: $\Delta ABC, \widehat{A}=90^{\circ}, AH\perp BC. HE\perp AB; HF\perp AC$. Chứng minh

a) AE.AB=AF.AC

b) BC² = 3AH² + BE² + CF²

^c) $\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}$

d) $\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{EB}{FC}$

e) AH³ = BF.CF.BC

 BÀI này khó, nên mong các bạn làm cho mik huhu (câu a k cần nha)

 

b)$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=2AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=2AH^{2}+CF^{2}+HF^{2}+BE{2}+HE^{2}=3AH^{2}+BE^{2}+CF^{2}$

c)$\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}$

d)$\frac{AB^{4}}{AC^{4}}=\frac{BH^{2}}{CH^{2}}=\frac{BE.AB}{CF.AC}$

$\Leftrightarrow$$\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{EB}{FC}$

e)$AH^{4}=BH^{2}.CH^{2}=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC$$\Leftrightarrow$đpcm

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn $x > y > z > 0$. CMR: 

$\frac{y}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}} < \frac{z}{\sqrt{x + z} - \sqrt{x - z}}$

$\frac{y}{\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}} < \frac{z}{\sqrt{x + z} - \sqrt{x - z}}$

$\Leftrightarrow$$\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}{2}<\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x-z}}{2}$

$\Leftrightarrow$$2x+2\sqrt{x^{2}-y^{2}}<2x+2\sqrt{x^{2}-y^{2}}$

$\Leftrightarrow$$x^{2}-y^{2}<x^{2}-z^{2}$$\Leftrightarrow$y>z (đúng)

Tìm $\overline{abcd}$ mà $\overline{abcd}$ $\vdots$ $\overline{ab}$.$\overline{cd}$

$\overline{abcd}$ $\vdots$ $\overline{ab}$.$\overline{cd}$$\Leftrightarrow$100$\overline{ab}$+$\overline{cd}$$\vdots$$\overline{ab}$.$\overline{cd}$

$\Rightarrow$$\overline{cd}^{2}$$\vdots$$\overline{ab}$.$\overline{cd}$$\Leftrightarrow$$\overline{cd}$$\vdots$$\overline{ab}$

$\Rightarrow$$\overline{cd}$=k$\overline{ab}$ (với k<10)

$\Leftrightarrow$(100+k)$\overline{ab}$$\vdots$$\overline{ab}$.$\overline{cd}$$\Rightarrow$100+k$\vdots$k$\overline{ab}$

$\Rightarrow$100$\overline{ab}$$\vdots$k$\overline{ab}$$\Rightarrow$100$\vdots$k

Mà k<10 nên k=1;2;5

Xét từng trường hợp là được

Lời giải.

Quy đồng $\text{VP}$ của biểu thức ta được:

$$\frac{\left ( a+c \right )x^{2}-\left ( a-b \right )x-b+c}{\left ( x^{2}+1 \right )\left ( x-1 \right )}$$

Vậy để $\text{VT}=\text{VP}$ thì $\left\{\begin{matrix} a+c=-1 &  & \\ a-b=0 &  & \\ -b+c=1 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 &  & \\ b=-1 &  & \\ c=0 &  & \end{matrix}\right.$

Sao để $\text{VT}=\text{VP}$ thì $\left\{\begin{matrix} a+c=-1 &  & \\ a-b=0 &  & \\ -b+c=1 &  & \end{matrix}\right.$ nhỉ

Giải pt nghiệm nguyên

$x^2+3y^2+4xy+2x+4y-9=0$

pt$Leftrightarrow$(x+y)(x+3y)+x+y+x+3y+1=10

$\Leftrightarrow$(x+y)(x+3y+1)+(x+3y+1)=10

$\Leftrightarrow$(x+y+1)(x+3y+1)=10

Vì x,y$\in$Z nên x+y+1 và x+3y+1 là ước của 10

Sau đó thì dễ rồi

Gợi ý.

Từ phương trình thứ hai ta được $y^{2}+2y+2=2x^{2}$.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được $x^{2}+xy+x+2x^{2}=0$.

Xét $x=0$ hoặc $3x+y+1=0$ (đoạn này rút thế).

Thay vào một trong hai phương trình và giải tiếp.

Nếu thay $y^{2}+2y+2=2x^{2}$ vào pt thứ nhất thì được $x^{2}+xy+x+2x^{2}=4$

Bài 2: Cho x, y khác nhau thỏa mãn $\sqrt{2010 - x^{2}} - \sqrt{2010 - y^{2}} = y - x.$ Tính M = $x^{2}+y^{2}$

y-x$\neq$0$\Leftrightarrow$$\sqrt{2010-x^{2}}$$\neq$$\sqrt{2010-y^{2}}$$\Leftrightarrow$$x^{2}$$\neq$$y^{2}$

$\sqrt{2010-x^{2}}-\sqrt{2010-y^{2}}=y-x$

$\Leftrightarrow$$\sqrt{2010-x^{2}}+x=\sqrt{2010-y^{2}}+y$

$\Leftrightarrow$$2010-2x\sqrt{2010-x^{2}}=2010-2y\sqrt{2010-y^{2}}$

$\Leftrightarrow$$x^{2}(2010-x^{2})=y^{2}(2010-y^{2})$

$\Leftrightarrow$$2010(x^{2}-y^{2})-(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})=0$

$\Leftrightarrow$(x^{2}-y^{2})(2010-x^{2}-y^{2})=0$

$\Leftrightarrow$M=2010 (vì $x^{2}$$\neq$$y^{2}$

CMR:$\frac{1}{4}<\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}<\frac{3}{10}$

(Tử số: n dấu căn

Mẫu số: n-1 dấu căn)

Đặt a=$\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ (n dấu căn)

$\Leftrightarrow$$a^{2}=2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ (n-1 dấu căn) $\Leftrightarrow$$\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}=a^{2}-2$ (n-1 dấu căn)

Ta có $\frac{4}{3}$<$\sqrt{2}$<a<$\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}=2$

$\Leftrightarrow$$\frac{10}{3}$<a+2<4

$\Leftrightarrow$$\frac{1}{4}$<$\frac{1}{a+2}$=$\frac{2-a}{4-a^{2}}$=$\frac{2-a}{2-(a^{2}-2)}$<$\frac{3}{10}$

$\Rightarrow$đpcm