Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


vuchidung110

Đăng ký: 26-07-2016
Offline Đăng nhập: 10-08-2016 - 14:49
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}\leq x...

29-07-2016 - 15:28

Nếu $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì ta có 1 lời giải khá đẹp như sau:

Chia cả 2 vế của bất đẳng thức đề bài cho $xyz>0$ ,ta có:

       $\sum \frac{x^{2}}{z}\geq \sum \frac{xy}{z}(1)$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}\geq \sum x$

Áp dụng bất đẳng thức CBS có:

       $\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}= \sum \frac{x^{2}\left ( x+z-y \right )^{2}}{xz\left ( x+z-y \right )}\geq \frac{(\sum x^2)^{2} }{\sum xz\left ( x+z-y\right )}$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{y} \geq \frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz}$

Giờ ta phải chứng minh:  

       $\frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz} \geq \sum x$

<=>$(\sum x ^{2})^2\geq \left (\sum xz\left ( x+z \right ) -3xyz \right )\left ( \sum x \right )$

Khai triển bất đẳng thức trên ra, ta được:

      $\sum x^4+xyz\left ( \sum x \right )\geq \sum xy\left ( x^2+y^2 \right )$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 4 và ta có ĐPCM.

      Dấu bằng xảy ra<=>$x=y=z$


Trong chủ đề: $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}...

26-07-2016 - 11:23

Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)

 Giờ ta phải cm:

$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$

$(2)$ tuơng đương:

       $\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

       $2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$

 Để (2) đúng ta phải chứng minh:

       $3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

<=>(2) đúng

 Kết hợp (1) ta có:

    $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)

 Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$