vuchidung110

Nếu $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì ta có 1 lời giải khá đẹp như sau:

Chia cả 2 vế của bất đẳng thức đề bài cho $xyz>0$ ,ta có:

       $\sum \frac{x^{2}}{z}\geq \sum \frac{xy}{z}(1)$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}\geq \sum x$

Áp dụng bất đẳng thức CBS có:

       $\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}= \sum \frac{x^{2}\left ( x+z-y \right )^{2}}{xz\left ( x+z-y \right )}\geq \frac{(\sum x^2)^{2} }{\sum xz\left ( x+z-y\right )}$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{y} \geq \frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz}$

Giờ ta phải chứng minh:  

       $\frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz} \geq \sum x$

<=>$(\sum x ^{2})^2\geq \left (\sum xz\left ( x+z \right ) -3xyz \right )\left ( \sum x \right )$

Khai triển bất đẳng thức trên ra, ta được:

      $\sum x^4+xyz\left ( \sum x \right )\geq \sum xy\left ( x^2+y^2 \right )$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 4 và ta có ĐPCM.

      Dấu bằng xảy ra<=>$x=y=z$

Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)

 Giờ ta phải cm:

$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$

$(2)$ tuơng đương:

       $\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

       $2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$

 Để (2) đúng ta phải chứng minh:

       $3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

<=>(2) đúng

 Kết hợp (1) ta có:

    $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)

 Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$