Nếu $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì ta có 1 lời giải khá đẹp như sau:
Chia cả 2 vế của bất đẳng thức đề bài cho $xyz>0$ ,ta có:
$\sum \frac{x^{2}}{z}\geq \sum \frac{xy}{z}(1)$
<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}\geq \sum x$
Áp dụng bất đẳng thức CBS có:
$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}= \sum \frac{x^{2}\left ( x+z-y \right )^{2}}{xz\left ( x+z-y \right )}\geq \frac{(\sum x^2)^{2} }{\sum xz\left ( x+z-y\right )}$
<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{y} \geq \frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz}$
Giờ ta phải chứng minh:
$\frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz} \geq \sum x$
<=>$(\sum x ^{2})^2\geq \left (\sum xz\left ( x+z \right ) -3xyz \right )\left ( \sum x \right )$
Khai triển bất đẳng thức trên ra, ta được:
$\sum x^4+xyz\left ( \sum x \right )\geq \sum xy\left ( x^2+y^2 \right )$
Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 4 và ta có ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra<=>$x=y=z$