Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)
Giờ ta phải cm:
$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$
$(2)$ tuơng đương:
$\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:
$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$
<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$
Để (2) đúng ta phải chứng minh:
$3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$
<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)
<=>(2) đúng
Kết hợp (1) ta có:
$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$
- tunglamlqddb yêu thích