Đến nội dung

vuchidung110

vuchidung110

Đăng ký: 26-07-2016
Offline Đăng nhập: 10-08-2016 - 14:49
-----

#646544 $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+...

Gửi bởi vuchidung110 trong 26-07-2016 - 11:23

Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)

 Giờ ta phải cm:

$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$

$(2)$ tuơng đương:

       $\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

       $2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$

 Để (2) đúng ta phải chứng minh:

       $3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

<=>(2) đúng

 Kết hợp (1) ta có:

    $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)

 Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$