Đến nội dung

damte

damte

Đăng ký: 03-08-2016
Offline Đăng nhập: 09-10-2016 - 20:14
-----

#648829 Tìm min $P=a^{7}+b^{7}+c^{7}$

Gửi bởi damte trong 09-08-2016 - 23:16

Chỗ áp dụng Holder ở trên, bạn có thể dùng AM-GM cho dễ hiểu. Sau khi đoán được điểm rơi tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$, ta làm như sau:

Áp dụng BĐT AM-GM cho 7 số dương, ta có: 

$6a^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\sqrt[7]{(a^{7})^{6}\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}}=7\frac{a^{6}}{\sqrt[6]{3}}$

Tương tự:
$6b^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{b^{6}}{\sqrt[6]{3}}$
$6c^{7}+\frac{1}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{c^{6}}{\sqrt[6]{3}}$

Cộng 3 BĐT: 

$6(a^{7}+b^{7}+c^{7})+\frac{3}{\sqrt[6]{3}^{7}}\geq 7\frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}}{\sqrt[6]{3}}\geq \frac{7}{\sqrt[6]{3}}$
$\Leftrightarrow 6(a^{7}+b^{7}+c^{7})\geq \frac{7}{\sqrt[6]{3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{3}}=\frac{6}{\sqrt[6]{3}}$
$\Leftrightarrow min(a^{7}+b^{7}+c^{7})=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ...



#647997 $\left | x-2016 \right |^{2017}+\left | x-2017...

Gửi bởi damte trong 04-08-2016 - 23:17

Với dạng toán giải PT kiểu $|x-a|^{b}+|x-b|^{a}=1$ với a,b nguyên dương thỏa $b-a=1$ thì mình thường làm như sau:
Nhận thấy x=a và x=b là hai nghiệm PT, ta chứng minh không còn nghiệm khác.
Thật vậy!
Với a<x<b thì lập luận chứng minh $|x-a|^{b}+|x-b|^{a}<1$ (Chú ý: $|x-a|+|x-b|=1$)
Với x<a hoặc x>b thì chứng minh $|x-a|^{b}+|x-b|^{a}>1$ bằng cách chỉ ra một đơn thức lớn hơn 1
Cuối cùng là kết luận tập nghiệm {a;b}
 



#647977 .Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD, biết BD=51,...

Gửi bởi damte trong 04-08-2016 - 22:09

a)$\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}=\frac{AB}{AC}=(tanC)$
$\Rightarrow\frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}$
$\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{BD^2}{CD^2}=\frac{51^2}{85^2}=\frac{9}{25}$
b) $\frac{BH}{CH}=\frac{9}{25}\Rightarrow BH=\frac{9}{25}CH=\frac{9}{25}x$
$BH+CH=BD+CD=136$
$\Rightarrow x+\frac{9}{25}x=136\Leftrightarrow x=136.\frac{25}{34}=100$
$CH=100; BH=36$



#647732 $\begin{cases}x+y+xy=5\\y+z+yz=11\\x+z+xz=7...

Gửi bởi damte trong 03-08-2016 - 10:22

1) Đặt $a=x+1; b=y+1;  c=z+1$

Hệ đã cho tương đương với: $ab=6; bc=12; ca=8$

Suy ra $abc=24$ hoặc $abc=-24$

Từ đó có nghiệm $(x;y;z) = (1;2;3)$ hoặc $(-3;-4;-5)$

2) Đặt $xy=a; yz=b; zx=c$

Hệ đã cho tương đương với: $a+c=14; a+b=18; b+c=20$

Suy ra: $a+b+c=26$

Nên $(xy;yz;xz)=(a;b;c)=(6;12;8)$

Hoàn toàn tương tự câu 1, $(x;y;z)=(2;3;4)$

Đính chính: Hoàn toàn tương tự câu 1,$ (x;y;z)=(2;3;4)$ hoặc $(-2;-3;-4)$