lamvienckt13

câu a chú ý G là điểm Miquel của tứ giác toàn phần ABKCEF
Tứ giác toàn phần nội tiếp thì OG vuông với EF. Gọi AK giao BC = T thì áp dụng định lý Brocard cho tứ giác toàn phần ABKCEF suy ra OT vuông với EF
Do đó OTG thẳng hàng nên đồng quy
cách khác nữa là chứng minh trục đẳng phương :v

Câu 1:

Ý tưởng là để ý x = 3 là điểm nhạy cảm của dãy số.

a)Ta chứng minh các bước sau

- $x_n>3 \forall n$

- $|x_{n+1}-3|<\frac{|x_n-3|}{2}$

b)Chia làm hai TH:

Nếu tồn tại $n$ để $x_n>3$ thì cmtt như a)

Xét $x_n<3 \forall n$

Chọn dãy $v_n = \frac{1}{2} + \sqrt{2u_n+\frac{1}{4}}$, ta có $u_n>v_n$ và $lim v_n = 3$, suy ra $lim x_n = 3$ do bị kẹp

 

Câu 2:

Tồn tại

Chọn $A(x) = (x-1)^3-2$, $B(X) = x^2 + 2x - 4$, ta có:

$gcd(A,B) = 1$, $P(x) - x$ chia hết cho $A(x)$ và $Q(x) - (3x-1)$ chia hết cho $B(x)$

Suy ra, ta cần tìm $P(x)$ thoả mãn:

$P = A.Q + x = B.R + (3x-1)$

$\Leftrightarrow A.Q - B.R = 2x-1$

Vì $gcd(A,B) = 1$ nên theo thuật chia Euclid, tồn tại $Q,R$ hệ số nguyên thoả mãn, suy ra dpcm

câu 1b là tìm tất cả a mà :/

Qua F kẻ đường vuông góc với FO cắt (O) tại R và S. AH cắt (O) tại E. Dễ thấy F là trung điểm của HE, RS và AP nên ARPS, RHSE là các hình bình hành.

 

Dễ thấy HCBP là tứ giác nội tiếp.

 

Chứng minh tứ giác RHPS là tứ giác nội tiếp bằng cách xét tổng 2 góc $\angle RHP+\angle RSP=\angle RHF+\angle FHP+\angle RSP=\angle FES+\angle ABC+\angle RSP=180^{0}$

 

Các đường tròn (RHPS), (HCBP), (O) cắt nhau tại RS, HP, BC nên 3 đường này đồng quy tại X.

 

Vậy XF vuông góc với FO tại F.

 

Do YM vuông góc với AC tại M nên F, M, Y, Z đồng viên.

các chỗ tính góc bạn nên viết góc định hướng!!!

Câu hàm quen thuộc rồi

Từ đầu dễ thấy $f$ là 1 song ánh

Do đó $\exists a: f(a)=0 $

Thay $x=0, y=a => f^2(0) + 2a=f(0) $

         $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $

Do đó $(a^2-a)^2 +2a =a^2-a $ 

          $a^4-2a^3+3a= 0 => a=0 ; a=-1 $

TH1: $a=-1 => f^2(0) - f(0) -2 =0 => f(0)=-2 $

Từ pt đầu cho $x=0 => f(2f(y)) = 2y +f^2(0) $

Thay $y=-1 => f(2f(-1)) = 2.(-1) + 4  <-=> f(0) = -2 +4 =2 $

Mà $f(0)=-2 $ nên vô lí

TH2: $f(0)=0$

Thay $y=0 => f(x^2)= f^2(x) $ 

Dễ suy ra được $f$ lẻ trên $R$

Thay $y= \frac{-f^2(x)}{2} => x^2+2f(-\frac{f^2(x)}{2} ) = 0$ 

Từ pt đầu ta thay $y=-\frac{f^2(y)}{2} $ , ta được 

$f(x^2 -y^2) = f^2(x) -f^2(y) =f(x^2) - f(y^2) , \forall x,y \in R$

$=> f(x-y) = f(x)- f(y) , \forall x,y \in R^{+} $ 

Mà do $f$ lẻ nên $f(x-y)=f(x)-f(y) , \forall x,y \in R $

Thay $x-> x+y => f(x+y)=f(x)+f(y) $ 

Tới đây ta sẽ tính $f((x+1)^2) $ bằng 2 cách

Cách 1: $f((x+1)^2) = f(x^2) +2f(x) + f^2(1) $

Cách 2: $f((x+1)^2)= f^2(x+1)= (f(x) + f(1))^2 $

Do đó $f(x)= ax $ 

Tới đây dễ rồi 

chỗ   $x=a,y=0 => f(a^2+f(0)) = 0 = f(a) => a^2+f(0) = a $  là sai rồi bạn. 

f(a^{2}+2f(0))= 0 = f(a)