Ta phải chứng minh
$$27a^2b^2c^2+8abc+1 \geq 4(ab+bc+ca)$$
Đặt $f(a,b,c)=27a^2b^2c^2+8abc+1-4(ab+bc+ca)$
Không mất tính tổng quát,$a= \min{a,b,c}$ và đặt $t=\frac{b+c}{2}$
Ta sẽ cmr $f(a,b,c)-f(a,t,t) \geq 0$
$\Leftrightarrow (t^2-bc)\left[ 27a^2(t^2+bc) +8a-4 \right] \leq 0$
Có $bc\leq t^2$ và $a+2t=1$ Thay vào ta đi cmr $\frac{27}{2}a^2(1-a)^2 +8a-4 \leq 0$
Dễ dàng chứng minh điều này với $a \leq \frac{1}{3}$
Kiểm tra $f(a,t,t) \geq 0$ khá đơn giản.
- Baoriven, yeutoan2001, Subtract Zero và 1 người khác yêu thích