Kamii0909

Bài 1 :  Nhận xét nếu $a \ge 3$ lúc đó $a+b+c>a+b>3$ 
Khi đó $VT<1$ (vô lí) . Nếu $a=1$ cũng dẫn đến vô lí vì $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b+c}=0$ 
Do đó $a=2$ . Biến đổi phương trình về thành $b^2+4b+4+(b+2)c=2c+4b+8 \Leftrightarrow bc+b^2+8b+12=0$ vô lí vì $a,b,c nguyên dương$ 
Bài 2 : Xét số dư của $a,b,c$ cho $3$ ta có đpcm |
 

Câu 1 bạn biến đổi nhầm khúc cuối kìa   

Mình làm như sau 
Dễ có $\frac{1}{a}> \frac{1}{a+b}> \frac{1}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{a}> \frac{1}{3}\Rightarrow a< 3$

Mà $a=1$ cũng vô lý vậy $a=2$

Nhân lên ta có $b(b+c)=4$ mà $b< b+c\Rightarrow b=1,c=3$

Câu 2 $\Leftrightarrow (a+bc)(b+ac)=101^{n}$

Bạn tham khảo thêm cách khác 
Đặt $a= \frac{x}{x-1}\Leftrightarrow x= \frac{a}{a-1}$

$xyz=1 \Leftrightarrow abc= (a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c+1=0$

Ta có $(a+b+c-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1$

Câu 1: Cho 3 số $a, b,c$ không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của biểu thức: $a^3+b^3+c^3$

Câu 2: Cho 3 số $a, b,c$ không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của biểu thức:$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}$

Câu 2 

Min=0 khi a=b=0,c=3 và các hoán vị
Nếu a,b,c không lớn hơn 2 thì min=$\sqrt[3]{2}$
Max=3
Theo bđt Holder

$\left ( \sum a \right )\left ( \sum b \right )(1+1+1)\geq \left ( \sum \sqrt[3]{ab} \right )^{3}\Rightarrow \sum \sqrt[3]{ab}\leq 3$

Bài ảo qúa     Bạn check lại đề được không ?? @@

Cho 2013 số tự nhiên đôi một khác nhau và khác 0. Biết rằng tổng của 1007 số bất kì luôn lớn hơn tổng của 1006 số còn lại cộng với 2012. Hỏi có thể khẳng định mỗi số trong 2013 số đã cho lớn hơn 3000 hay không?

Bài này nên đưa vào topic Tổ hợp chứ nhỉ :3 
Giải 
Giả sử $a_{1}< a_{2}< ...< a_{2013}$ hay $a_{1}\leq a_{2}-1\leq a_{3}-2\leq ....\leq a_{2013}-2012$

Theo giả thiết ta có 

$\sum_{2}^{1007}a_{i}+a_{1}> \sum_{1008}^{2013}a_{i}+2012\geq \sum_{2}^{1007}a_{i} +1007.1006+2012> \sum_{2}^{1007}+3000$

$\Rightarrow a_{1}> 3000$ từ đó ta có tất cả các số đều lớn hơn 3000

Bổ đề $3\sum a^{2}b\leq \left ( \sum a \right )\left ( \sum a^{2} \right )$

P=$\sum \frac{x}{\sqrt{y}}= \sum \frac{x^{2}}{x\sqrt{y}}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum x\sqrt{y}}$

Theo bổ đề ta có $3\sum x\sqrt{y}\leq \left (\sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )$

Dự đoán min=6

Ta phải chứng minh

$\left (\sum x \right )^{2}\geq \left 2( \sum x \right )\left ( \sum \sqrt{x} \right )\Leftrightarrow \sum x\geq 2\sum \sqrt{x}$

Mà theo bđt Cauchy-Schwarz $\sum \sqrt{x}\leq \sqrt{3\sum x}$ nên ta phải chứng minh

$\sqrt{\sum x}\geq 2\sqrt{3}\Leftrightarrow \sum x\geq 12$

Bđt cuối luôn đúng nên ta có min=6 khi x=y=z=4 

1/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$CMR: $abc\leq \frac{1}{8}$
2/ Cho a,b >0, thỏa mãn a+b=1. CMR: $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{25}{2}$
3/ Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c+d=1. CMR:
$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2+(d+\frac{1}{d})^2\geq \frac{289}{4}$
4/ Cho a,b,c >0. CMR: $\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a+c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{b+a}}>\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Ta có bất đẳng thức sau với mọi a,b,c không âm

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Dấu bằng xảy ra khi 1 biến =0 và 2 biến còn lại bằng nhau

Cho x,y,z  dương ;$x+y+z=1$

Tìm Min

$\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}$

Giả sử $x\geq y\geq z$

Theo bất đẳng thức Cheybershev ta có 

$\sum \frac{x}{xy+1}\geq \frac{\sum x}{3}\sum \frac{1}{xy+1}\geq \frac{3}{\sum xy+3}\geq \frac{3}{\frac{1}{3}\left ( \sum x \right )^{2}+3}=\frac{9}{10}$

Câu 1 
Pt 2 tương đương
$\left (\sqrt{x-y+3}-2 \right )\left ( x^{2}+x+2+\sqrt{x-y+3} \right )=0\Leftrightarrow x=y+1$

Thế lại phương trình 1 để giải
Câu 4
Dễ thấy $3|y$

phương trình tương đương $\left ( 3x+4 \right )^{2}=y^{3}+1\Leftrightarrow \left ( 3x+4 \right )^{2}=\left ( y+1 \right )\left ( y^{2}-y+1 \right )$

mà $gcd\left ( y+1,y^{2}-y+1 \right )=gcd\left ( 3y,y+1 \right )=1$ nên

 $\left\{\begin{matrix} y+1=a^{2}\\ y^{2}-y+1=b^{2} \end{matrix}\right.$

Thế 2 phương trình ta có 

$a^{4}-3a^{2}+3-b^{2}=0\Leftrightarrow 4a^{4}-12a^{2}+12-4b^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left ( 2a^{2}-2b^{2}-3 \right )\left ( 2a^{2}+2b^{2}-3 \right )=-3$

Giải ra có $a^{2}=b^{2}=1$ hay $\left ( x,y \right )=\left ( -1,0 \right )$

Câu 2 ngày 1 
$x^{2}+xy+y^{2}\leq 2\Leftrightarrow y^{2}+yx+x^{2}-2\leq 0$

$\Delta = 8-3x^{2}\geq 0\Leftrightarrow 3x^{2}\leq 8$

$5x^{2}+2xy+2y^{2}=3x^{2}+2\left ( x^{2}+xy+y^{2} \right )\leq 12$

Mình không nhìn rõ đề lắm      Bạn nào gõ lại được không  Mấy cái chỉ số dưới nó cứ mờ mờ ảo ảo  

Câu bất 

Đặt A=3 hạng tử đầu

$\sum \frac{ab}{3a+4b+5c}= 2\sum \frac{ab}{6a+8b+10c}\leq \frac{1}{72}\sum \left ( 5\frac{ab}{a+c}+5\frac{ab}{a+c}+4\frac{ab}{a+3b} \right )$ 

$A\leq \frac{5}{72}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{72}\left ( a+b+c \right )= \frac{1}{12}\left ( a+b+c \right )= \frac{3}{4}$

AD bất đẳng thức AM-GM

$4(a+b+c)=3a+(a+2c)+3b+(b+2c)\geq 4\sqrt[4]{9ab(a+2c)(b+2c)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}\leq 27\Rightarrow VT\leq \frac{77}{108}$

$\sum \frac{1}{\sqrt{3+a}}\leq \sqrt{3\left ( \sum \frac{1}{a+3 } \right )}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{3+a}\leq \frac{3}{4}$

Đổi biến $\left ( a,b,c \right )= \left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )$

Đpcm $\Leftrightarrow \sum \frac{y}{x+3y}\leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{3y}{x+3y}\leq \frac{9}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{x}{x+3y}\geq \frac{3}{4}$

Điều này luôn đúng do $\sum \frac{x}{x+3y}= \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+3xy}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\sum x^{2}+3\sum xy}= \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}+\sum xy}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}+\frac{1}{3}\left ( \sum x \right )^{2}}=\frac{3}{4}$

Bài 6 $2ab+6bc+2ac=7abc$ <=> $\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\Leftrightarrow 6x+2y+2z=7$

C=$\frac{4}{y+2x}+\frac{9}{z+4x}+\frac{4}{y+z}\geq \frac{\left (2+3+2 \right )^{2}}{6x+2y+2z}=7$ 

Full câu hình   

Gọi (O) cắt (AEF) tại P khác A. I là trung điểm BC.S là trung điểm EF.PI cắt (O) tại H.EF cắt BC tại K.

Có$\widehat{PCK}=\widehat{PFK}$ (cùng phụ với $\widehat{PAB}$ nên PFCK là tứ giác nội tiếp.

$\Delta PEF \sim \Delta PBC$ nên $\frac{PF}{PC}= \frac{EF}{BC}=\frac{FS}{CI}$ suy ra $\Delta PIC \sim \Delta PSF$ => $\widehat{PSK}= \widehat{PIK}$ suy ra PKCI là tứ giác nội tiếp.

Từ các tứ giác nội tiếp PFCK ,PSIK ,PAHC => $\widehat{PKS}=\widehat{PCA}= \widehat{PIS}=\widehat{PHE}$ suy ra OI//AH suy ra AH là đường cao => P cố định

Kẻ PX và PY vuông góc BC,EF =>P,Y,Q thẳng hàng

Mà $\Delta PIX \sim \Delta PSY => \widehat{IPX}= \widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SPY} => \widehat{SIP}=\widehat{SQP}$ nên SPIQ là tứ giác nội tiếp. Ix là tia đối tia IO. Có $\widehat{HIx}= \widehat{SIP}= \widehat{SPQ}= \widehat{QIx}$ nên Q $\epsilon$ đường thẳng đối của IH qua OI (cố định)