Kiratran

Cho tam giác $ABC$, chân đường cao kẻ từ $A$ là $H(\frac{17}{5} ,\frac{-1}{5})$, chân đường phân giác kẻ từ $A$ là $D(5,3)$,$M(0,1)$ là trung điểm của $AB$. Tìm tọa độ $A,B,C$

Câu hệ thì chỉ cần liên hợp là được

sẽ ra $x+y-1=0$

gs $a>b>c$

$(a^2+b^2+c^2)(\frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)^2})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{9}{(c-a)^2}) \geq \frac{9}{2}$

biến đổi => $(a+c)^2+b^2 \geq 0$

1,$\left\{\begin{matrix} & \\ \frac{y}{x}(\frac{1}{x}+y)=5 & \\ \frac{1}{x^2}+y^2=6 \end{matrix}\right.$

đặt ẩn phụ và giải 

CM: $AMFE$ nội tiếp

=> 5 điểm $A,H,E,F,M$ thuộc 1 đt 

$MH$ cắt $(O)$ tại $G$

có $A,O,G$ thẳng hàng

chứng minh $H,G$ đối xứng nhau qua $I $

=> $M,H,I$ thẳng hàng 

=>$ KH \perp AI$

$\sum \frac{1}{z+2xz}$

đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c} , z=\frac{c}{a}$

$\sum \frac{1}{\frac{c}{a}+2\frac{c}{a}.\frac{a}{b}}=\sum \frac{ab}{cb+2ca}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3abc(a+b+c)}\geq 1$

nhân pt đầu với 2 rồi trừ 2 pt cho nhau 

ta được $(x+y)^2 -4(x+y)=-4$

<=> $x+y=2$

sau đó thế và giải pt

$0 \leq x \leq 4$

$x(x-4) \leq 0$

$x^2 \leq 4x$

tương tự với y 

cộng 2 vế lại 

ta được $x^2+y^2 \leq 16$

4c

có$ \frac{1}{AH^2}= \frac{1}{AB^2} +\frac{1}{AC^2} \geq \frac{2}{AB.AC}$

=>$ \frac{AB.AC}{2} \geq 4R^2$

$\frac{AB.AC}{2}=2\frac{AH.MN}{2}$

=>$ AH \perp DE$

thì diện tích $\triangle AMN$ nhỏ nhất

đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

có $xy+yz+xz=1$

$\sum \frac{x}{\sqrt{1+y^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+2y+z}$

cs nữa là xong 

Cho tam giác $ABC$ đều, các đường cao $AH, BK$ cắt nhau tại $E$. Tia phân giác của $\angle BKH$ cắt các đoạn thẳng $CE,AH,BC$ tại $M,N,P$. 
C/m: $KM=NP.$

Câu 1:

$AH$ cắt $(O)$ tại
$G$

chứng minh $CBGD$ là hình thang cân ( do $AH \perp CD$ và $AH \perp BG$ )

=> suy ra được $CK=DH$ => $CH=DK$

$\sum \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2b(a+b)}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2}a}{3b+a}$

dùng cs là ra 

$\frac{a^2}{b-1}+4(b-1) \geq 4a$

$\frac{b^2}{a-1}+4(a-1) \geq 4b$

cộng 2 vế => gtnn 

$\frac{a}{3a^2+2b^2+c^2}\leq \frac{1}{9}(\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{a}{a^2+c^2})\leq \frac{1}{18}[\frac{2a}{a+b)^2} +\frac{a}{(a+c)^2}]$

tương tự 

rồi dùng bđt $\frac{4}{a+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ là ra