Death Note

Ta có : $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{ab+bc+ca}$

Ta cần chứng minh :$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)=\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( ab+bc+ca \right )^2}$

Dễ thấy : $\sqrt{27\left ( a^2+b^2+c^2 \right )(ab+bc+ca)^2}\leq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^6}=(a+b+c)^3$

 Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

bạn nói rõ hơn chỗ này đc ko

ko tải được ạ 

Do m,n nguyên tố cùng nhau nên 2 số kia cũng nguyên tố cùng nhau

vì sao 2 số kia cũng nguyên tố cùng nhau

Bổ đề: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ hữu tỉ với a,b hữu tỉ khi và chỉ khi $\sqrt{a}$ và $\sqrt{b}$ hữu tỉ

Áp dụng thì tự động suy ra vô nghiệm

bạn làm rõ đi

Đặt $(a,b)=d, a=dm, b=dn, (m,n)=1$ thay vào đề bài suy ra $dmn(m+n)$ chia hết cho $m^{2}+mn+n^{2}$ mà do $(m,n)=1$ nên $(mn(m+n),m^{2}+mn+n^{2})=1$ suy ra $d$ chia hết cho $m^{2}+mn+n^{2}$, tức là $d\geq m^{2}+mn+n^{2}\geq 3mn$, suy ra $d^{3} \geq 3ab$

Mà $a-b$ chia hết cho $d$ nên $|a-b| \geq d$. Vậy ta có đpcm

bạn ơi mình ko hiểu chỗ này