toanhoc

Tôi không hiểu ý GS Cartier. MrMath nói rõ thêm được không ? Thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng có lần nói với tôi rằng vì bản chất AT dàn trải nên khó viết 1 quyển sách chỉnh chu dạng từ điển như vậy. Điều này đúng kể từ sau 1960 (Tôi lấy mốc khi Atiyah và Hirzebruch định nghĩa K theory) nhưng khoảng thập niên 50 trở về trước (khi nhóm Bourbaki cực thịnh) thì AT chưa đến mức như vậy. Dù sao thì tôi vẫn oải khi mở bất kỳ quyển Bourbaki nào ra. Có lẽ làm từ điển thì tốt, sách học thì không.

Tại sao Bourbaki không viết sách về algebraic topology nhỉ ? Cartan là 1 trong các pioneer, lại đào tạo được các học trò tài năng (như Serre) nhưng nhóm ko có bộ sách về AT, chỉ có point-set topology

Alexi giải thích rõ hơn được không ? Thú thực là tôi chả hiểu gì cả. Motive định nghĩa thế nào ? Tate twist ?

À, liên thông là connection, tôi hiểu nhầm là connectedness. Splitting principle là thế này: Trước hết nếu vector bundle là orỉented thì sẽ có Euler class $\eta$ (tương ứng với Thom class ở total space). $dim(\eta) = n$ (chiều của vector bundle). Vậy nếu ta lấy line bundle thì $\eta$ có chiều 1. Vậy định nghĩa $w_1 = \eta$ cho line bundle. Đây là first Stiefel-Whitney class. Splitting principle nói rằng với vector bundle bất kỳ ta có thể pull-back nó về 1 tổng của các line bundles (tổng=Whitney sum). Vì ta muốn các SW classes là natural với pull-back và thỏa $w(\psi_1\bigoplus\cdots\bigoplus\psi_n) = w(\psi_1)\cdots w(\psi_n)$ trong đó w là total SW class nên $w(\psi)=\prod_{i}{(1+w(\psi_i))}$. Cân bằng chiều 2 vế sẽ thấy $w_k(\psi)$ hạn chế xuống k^th elementary symmetric polynomial của các $\w_1(\psi_i)$. Cách này nhìn có vẻ hình thức nhưng thật ra bên dưới là ý tưởng pull-back từ $O(n)$-bundles về $T^n$-bundle, trong đó $T^n$ là maximal torus của $O(n)$ và lý do mà symmetric polynomials xuất hiện là vì $W(O(n)/T^n) = S_n$, W ở đây là Weyl group, còn $S_n$ là symmetric group on n letters. Đây là câu chuyện về SW classes.
Bây giờ nếu lấy mod 2 cohomology thì mọi thứ đều orientable, nên mod 2 cohomology luôn có SW classes.
SW là cho real vector bundles.
Chern classes làm y chang như vậy cho complex vector bundles. Complex thi mọi thứ đều orỉentable nên Chern classes luôn tồn tại integrally. Tất nhiên, $O(n)$ thay bằng $U(n)$ và các Chern classes ở số chiều chẵn vì ta đang làm việc với $C$, ko phải $R$.

Cách nữa là splitting principle. Dùng liên thông là như thế nào nhỉ ?