phamngocduong2k3

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi đường vuông góc từ điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là MD, ME, MF. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{1}{MD+ME}+\frac{1}{ME+MF}+\frac{1}{MF+MD}$

Cho a,b,c là 3 số thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1$

CMR: $|a + b + c - 2abc| \leq \sqrt{2}$

Ta có:

$\left | a+b+c-2abc \right |\leq \left | a \right |.\left | 1-2bc \right |+\left | b+c \right |\leq \sqrt{\left ( 1+2bc \right )\left ( 4b^{2}c^{2}-4bc+2 \right )}$

Vậy ta cần chứng minh: 

$\left ( 1+2bc \right )\left ( 4b^{2}c^{2}-4bc+2 \right )\leq 2 \quad \quad (*)$

Thật vậy, $(*)$ tương đương với: $b^{2}c^{2}\left ( 2bc-1 \right ) \leq 0$

Mà: $1\geq b^{2}+c^{2}\geq 2bc\Rightarrow bc\leq \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b^{2}c^{2}\left ( 2bc-1 \right )\leq 0$

$\rightarrow Q.E.D$