plskillme

3. Ta có $3x - 7 = 4y \Leftrightarrow y = \frac{3x - 7}{4} \Leftrightarrow 3x - 7 \vdots 4 \Leftrightarrow 3x \equiv 3 (mod4) \Leftrightarrow  x \equiv 1 (mod4)$

             $\Rightarrow x = 4t + 1, y = 3t - 1, t \in \mathbb{Z}$ 

Gọi tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $I$, các tiếp điểm với các cạnh $CB, BA, AC$ lần lượt là $D, E, F$.

Dễ thấy $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $AF = AE = m, CF = CD = n, BD = BE = p$.

Ta có tứ giác $AFIE$ có ba góc vuông $=> r = m$

Ta lại có $(m + n)^2 + (m + p)^2 = (n + p)^2 <=> (m + n)(m + p) = 2np <=> np = 6 $. Mà $n + p = 5 => n = 2$.

Suy ra $r = a = 1$

Điều kiện nghiệm là $x \geq \frac{-1}{2}$

Bình phương hai vế ta có $3x^2 + (4-m)x -1 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để hai nghiệm thoả mãn đk trên thì $f(\frac{-1}{2}) \geq 0$ và $\frac{m-4}{3} \geq 2.\frac{-1}{2}$.

Giải rât được $m \geq \frac{9}{2}$

2011 là số nguyên tố nên $a = 2011^{x}, b = 2011^{y}$

Do $x + y = 2012$ nên x, y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Vì $2011 \equiv -1 (mod2012)$ nên $a + b$ chia 2012 dư 2 hoặc -2

có linh cảm chẳng lành :v chẳng lẽ lại giải theo cacha củ chuối này

Chưa làm được cho bác nhưng cứ gõ lại cái đề cái đã !

1. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn $a + b + c \geq ab + bc + ca$. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a + b^{2}} \geq \frac{a + b + c}{2}$

2. Cho các số thực $a, b, cabc \leq 0$ và $a + b + c = 0$. Tìm GTNN cùa

                                            $P = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})(1 - ab - bc - ac) + \frac{12abc - 8}{ab + bc + ca}$

Bài làm từ một thanh niên nát toán, khuyến cáo không nên dùng cách này :v

Gọi giao của NG, CG với AB lần lượt là E, X; của BG với AC và CD là Y và Z.

Áp dụng Ta-let cho $\Delta NGC$ ta có $EX= \frac{NC}{2}$ , suy ra $\frac{AX}{XB} = \frac{5}{7}$                                                        (1)

Tương tự cho $\Delta CYZ$ ta có $\frac{CY}{YA} = \frac{CZ}{AB} = \frac{2XB}{AB} $(Ta-let cho $\Delta GZC$) = $\frac{7}{6}$           (2)

Do I là giao AG và ND nên I nằm trên đoạn BC

Vì AI, CX, BY đồng quy tại G nên theo định lí Ceva ta có

$\frac{AX}{XB}. \frac{BI}{IC}. \frac{CY}{YA} = 1$                                                                                                                                     (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra $\frac{BI}{IC} = \frac{6}{5}$ suy ra $\frac{BC}{BI} = \frac{11}{6}$  

P/s : cách giải củ chuối này mà cũng ngốn 1 tiếng @@ lo cải thiên thôi :v Chiu khó tự vẽ hình nhá bạn.