NTMFlashNo1

Thay tương đương vô cùng bé

$ln\left ( 1+x \right )\sim x$

$sin\left ( x \right )\sim x$

 

sorry lời giải trên bị nhầm

 

$I=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sinx-ln(1+x)}{sinx.ln(1+x)})=0$

 

Dùng L'Hospital có:

 

$I=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{cosx-\frac{1}{x+1}}{cosx.ln(1+x)+sinx.\frac{1}{1+x}})\\ \\ \\I=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1-\frac{1}{1+x}}{x+x.\frac{1}{1+x}})=\frac{1}{2}$

 

Thay VCB

($ln\left ( 1+x \right )\sim x$

$sin\left ( x \right )\sim x$)

Tìm $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{ln(1+x)}-\frac{1}{sinx})$

 

Thay tương đương vô cùng bé

$ln\left ( 1+x \right )\sim x$

$sin\left ( x \right )\sim x$

$\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}=0$

1.tìm m để hàm số $y=x^{3}+3(m-2)x^{2}+3x+m$ đồng biến trên $(-\infty;1 )$

2. tìm m để hàm số $y=x^{3}-3(2m+1)x^{2}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên $(2;+\infty )$

1.$y=x^{3}+3(m-2)x^{2}+3x+m$ đồng biến trên $(-\infty;1 )$

   $\Leftrightarrow y'=3x^{2}+6(m-2)x+3$ đồng biến trên $(-\infty;1 )$

   $\Leftrightarrow y'\geq 0 \forall x\in (-\infty ;1)$

   $\Leftrightarrow 3x^{2}+6(m-2)x+3\geq 0 \forall x\in (-\infty ;1)$

   $\Leftrightarrow m\geq \frac{-x^{2}+4x-1}{2x}$ với $x\neq 0$

Xét $g(x)=\frac{-x^{2}+4x-1}{2x}$

   $\Rightarrow g'(x)=\frac{-x^{2}+1}{2x^{2}}$

   $\Rightarrow g'(x) >0 \forall x\in (-\infty ;1)$

   $g'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$

Lập bảng biến thiên ta có: $Max_{g(x)}=3$

Do đó,$m\geq 3$ thỏa mãn bài.

Tìm m để hàm số y=x²(m-x)-m đồng biến trên khoảng (1;2)

Xét: $y'=-3x^{2}+2mx$ $\forall x\in \left ( 1;2 \right )$

 

Khi đó, y đồng biến trên $\left ( 1;2 \right )$

 

$\Leftrightarrow y'\geq 0 \forall x\in \left ( 1;2 \right )$

 

$\Leftrightarrow -3x^{2}+2mx\geq 0\\\Leftrightarrow m\geq \frac{3x^{2}}{2x}> \frac{3}{2}\forall x\in \left ( 1;2 \right )$

 

Vậy $m>\frac{3}{2}$

Giải phương trinh: (4x-1)$\sqrt{x^2+1}=2x^2 + 2x +1$

PT trên tương đương với:
$\left (4x-1\right )\left (\sqrt{x^{2}+1}-\frac{5}{3}\right )=2x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{8}{3}\\\\\Leftrightarrow \left (4x-1\right )\left (\sqrt{x^{2}+1}-\frac{5}{3}\right )=2\left (x-\frac{4}{3}\right )\left (x-1\right )\\\\\Leftrightarrow \left (4x-1\right )\left (\frac{x^{2}+1-\frac{25}{9}}{\sqrt{x^{2}+1}+\frac{5}{3}}\right )=2\left (x-\frac{4}{3}\right )\left (x-1\right )\\\\\Leftrightarrow \left (4x-1\right )\left (x-\frac{4}{3}\right )\left (x+\frac{4}{3}\right ).\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+\frac{5}{3}}=2\left (x-\frac{4}{3}\right )\left (x-1\right )$
Đến đây là ra !