math2

Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\exists c \in [0,1]$, $f(c)= f\left( \dfrac{cn+1}{n}\right)$.

Câu 2: Cho dãy $\{\varepsilon\}$ là dãy số gồm các phần tử nhận một trong ba giá trị $-1,0,1$. Chứng minh công thức sau: $\varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2\dots \varepsilon_n}{2^{k-1}}\right)$, $n \in \mathbb{N}$. Từ đó suy ra giới hạn của dãy số sau $a_n = \varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}$.

Câu 3: Tìm $x$ để giới hạn sau tồn tại và tính giới hạn đấy $\lim\limits_{n \to \infty} \prod\limits_{k=0}^n \left(1 + \dfrac{2}{x^{2^k}+x^{-2^k}} \right)$.

Câu 4: Giả sử rằng $\{a_n\}$ hội tụ tới 1. Tính giới hạn sau đây với số tự nhiên $p\geq 2$ $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[p]{1+a_n}-1}{a_n}$

Câu 5:

a. Chứng minh rằng nếu dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=a$ thì ta cũng có $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}=a.$

b. Chứng minh rằng $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 -\sin^2 x}{x^2\sin^2 x} = \dfrac{1}{3}$.

c. Sử dụng kết quả trên chứng minh dãy số $\{a_n\}$ cho bởi $0<a_1< \pi, a_{n+1} =\sin a_n$  thỏa mãn $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n =\sqrt{3}.$

Câu 6: Cho dãy số bởi công thức truy hồi $a_1=0, a_{n+1} = 1-\sin (a_n-1)$. Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k$.

Câu 1:(1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x-y)f(x) +h(x) -xy+y^2 \leq h(y) \leq (x-y)g(x) + h(x) -xy +y^2,  \forall x,y \in \mathbb{R}$

Câu 2: (2,5 điểm) Tính tích phân $\int\limits_0^{2\pi} \sin (2015x +\sin x)dx$.

Câu 3: (1,5 điểm) Cho $a_0 \neq 0$, $a_1, a_2, \dots, a_n$; $m>0$ $(n \in \mathbb{N}^*)$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\dfrac{a_0}{m+n}+\dfrac{a_1}{m+n-1}+\dots +\dfrac{a_{n-1}}{m+1}+\dfrac{a_n}{m}=0$. Chứng minh rằng phương trình $x_0x^n +a_1x^{n-1} +\dots + a_{n-1}x+a_0 =0$ có nghiệm $x\in (0,1)$.

Câu 4: (1,0 điểm) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n$, luôn tồn tại $c \in [0,1]$ sao cho $f(c)=f\left(c+\dfrac{1}{c}\right)$.

Câu 5: (1,5 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \sqrt{u_n^2 +\dfrac{1}{4^n}}\right)$. Chứng minh rằng $u_n = \dfrac{1}{2^n}\cot \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$.

Câu 6: (1,5 điểm) Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\left( \sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\dots + \sin \dfrac{(n-1)\pi}{n}\right)$.

Câu 7:(1,5 điểm) Cho $f$ là hàm số liên tục trên $[0, +\infty)$ thỏa mãn điều kiện $\int_0^x f^2(t)dt \leq \frac{x^3}{3}, \quad \forall x \geq 0.$ Chứng minh rằng $\int\limits_0^x f(t)dt \leq \dfrac{x^2}{2}$ với mọi $x \geq 0$.