datduong2002

Từ giả thiết  : $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$  Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b ;\frac{1}{z}=c \Rightarrow ab+bc+ca=1$

 

Ta có : $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}= {{\sqrt{\frac{4}{1+x^{2}}}}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}={{\sqrt{\frac{4a^{2}}{1+a^{2}}}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{1+c^{2}}}={{\sqrt{\frac{2a.2a}{(a+b)(a+c)}}}}+\sqrt{\frac{2b.b}{(b+a)[2(b+c)]}}+\sqrt{\frac{2c.c}{(a+c)[2(c+b)])}}$

  Từ đó bạn dùng AM-GM , mình đã tách ra đó rồi, có từng cặp với nhau ...... ===> đpcm 

Cảm ơn bạn nhiều

thank you. very good

Áp dụng CBS $\frac{xy}{x^2+xy+yz} = \frac{xy(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})}{(x^2+xy+yz)(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})}\le \frac{xy+y^2+zx}{(x+y+z)^2}.$

tương tự $\frac{yz}{y^2+yz+zx}\le \frac{yz+z^2+xy}{(x+y+z)^2}$ ; $\frac{zx}{z^2+zx+xy} \le \frac{zx+x^2+yz}{(x+y+z)^2}$

$\Rightarrow \frac{xy}{x^2+xy+yz} + \frac{yz}{y^2+yz+zx} + \frac{zx}{z^2+zx+xy} \le \frac{xy+y^2+zx+yz+z^2+xy+zx+x^2+yz}{(x+y+z)^2} = 1$

Vậy max $P$ là 1 khi $x=y=z$

cảm ơn bạn rất nhiều

Dễ CM: $5a^2+10ab+10b^2\geq (2a+3b)^2$(tách ra chuyển vế cộng trừ bình thường)

Tương tự....

=>$P\leq \frac{ab}{2a+3b}+\frac{bc}{2b+3c}+\frac{ac}{2c+3a}=\frac{ab}{a+a+b+b+b}+...\leq \frac{1}{25}(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b}+\frac{ab}{b})+...\leq \frac{1}{25}(5b+5a+5c)=\frac{1}{5}(a+b+c)$$\leq \frac{1}{5}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{5}$

Dấu '=" <=> a=b=c=1

Bài này áp dụng cosi, cauchy

cảm ơn bạn rất nhiều

ĐK x,y,x >0

Từ (PT1) ta có :

$3=xyz(x+y+z)\Leftrightarrow 81=3\sqrt{xy}.3\sqrt{yz}.3\sqrt{xz}(x+y+z)\leq \left [ \frac{3\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}+x+y+z}{4} \right ]^{4} \Leftrightarrow 81\leq \left [ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right ]^{4}\Leftrightarrow 81\leq \left ( \frac{9+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right )^{4} \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq 3$ (1)

Từ (PT2) có :

$9=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}) \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = z = 1 là nghiệm của hệ pt

thank you very much???!!!